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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%%%%%%%
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1990}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1990}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1990 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Donner l'écriture décimale de chacun des nombres suivants :


\[a = 34 \times 10^{-3}\:; \quad b= \dfrac{3 \times 10^2}{4 \times 10^{-3}}\:; \quad 
c = 2 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{100}.\]


,
\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le rectangle ci-après a pour dimensions $18$~cm et $4$ cm.

IL est partagé en deux parties A et B.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,arrowsize = 2pt 3}
\begin{pspicture}(5,1.8)
\psframe(0.2,0.5)(4.7,1.5)
\psline(0.2,1.5)(3.6,0.5)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.2,0.3)(3.6,0.3)\uput[d](1.9,0.3){$x$}
\uput[u](2.45,1.5){18}
\uput[l](0,1){4}
\rput(1.2,1){A}\rput(4,1){B}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Exprimer l'aire $S$ de la partie A en fonction de $x$.
\item[$\bullet~$] Représenter graphiquement les variations de $S$ en fonction de $x$ lorsque $x$ varie de 0 à 18. (Prendre 0,5 cm pour unité sur chaque axe.)
\end{itemize}

\item Calculer la valeur que doit prendre $x$ pour que l'aire de la partie B soit le double de l'aire de la partie A.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

3) Parmi les phrases suivantes, certaines sont vraies, d'autres sont fausses. 

Recopier les phrases vraies sur la copie et seulement celles-là.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 9 a pour carré $\sqrt 3$.
\item[$\bullet~$] 9 est le carré de deux nombres : $3$ et $- 3$.
\item[$\bullet~$] $( - 3)$ a pour carré 9.
\item[$\bullet~$] $(- 3)$ est la racine carrée de 9.
\item[$\bullet~$] 9 est la racine carrée de 81.
\item[$\bullet~$] (-9) est la racine carrée de $(-81)$.
\item[$\bullet~$] $\left(- \sqrt 3\right)$ a pour carré 3.
\item[$\bullet~$] $3\sqrt 3)$ est la racine carrée de 9.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Voir la figure et les données ci-après.

Démontrer que le triangle STO est rectangle et en déduire IT.
\item Voir la figure et les données ci-après.

Dans le triangle STO rectangle en T, calculer des valeurs
approchées à un degré près des mesures des angles $\widehat{\text{OST}}$ et $\widehat{\text{SOT}}$.

Justifier les calculs.
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
$\mathcal{C}$ est un cercle de centre O,
de rayon $4,5$ cm.

(ST) est tangente à $\mathcal{C}$ en T.

I est le milieu de [SO].

OS $=7,5$~cm.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.2,-2.3)(2.5,3.5)
%\psgrid
\psline(-4.2,0)(2.5,0)
\pscircle(0,0){2.3}%\pscircle(-1.85,0){1.85}
\psline(0.2,3.07)(-3.7,0)
\psline(-1.43,1.8)
\psline(-1.85,0.1)(-1.85,-0.1)\uput[d](-1.85,0){I}\uput[d](-3.7,0){S}
\uput[dl](-2.3,0){A}\uput[d](0,0){O}\uput[dr](2.3,0){B}
\rput(1.2,-1.7){$\mathcal{C}$}\uput[ul](-1.43,1.8){T}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume]
\item Voir la figure et les données ci-avant.
	\begin{enumerate}
		\item Dans le triangle rectangle STO, calculer ST.
		\item La parallèle à (OT) passant par A coupe [ST] en A$'$.
		
Calculer SA$'$
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Terminer la vue en perspective du prisme droit ABCDEF
sachant que ABC est l'une des bases triangulaires et [DA] une arête de ce prisme.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3)
\psline(4.2,2.2)(1.8,0.2)(1,1.5)(0.2,0.9)(1.8,0.2)%DABCA
\uput[d](1.8,0.2){A} \uput[u](1,1.5){B} \uput[l](0.2,0.9){C} \uput[u](4.2,2.2){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

		\item Dessiner les intersections avec les faces de la pyramide du plan qui contient [RT] et qui est parallèle à la base MNOP de la pyramide.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,5.2)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(2.7,0.2)(2,4.7)%MNS
\psline(2.7,0.2)(3.8,2)(2,4.7)%NOS
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.3,2)(3.8,2)%MP?
\psline[linestyle=dashed](1.3,2)(2,4.7)%PS
\psline(1.18,2.7)(2.3,2.7)
\uput[dl](0.2,0.2){M} \uput[dr](2.7,0.2){N} \uput[r](3.8,2){O}
\uput[dr](1.3,2){P} \uput[u](2,4.7){S} 
\uput[l](1.18,2.7){R} \uput[r](2.3,2.7){T}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans cette partie, on utilise le graphique ci-dessous

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6.5,100)
\multido{\n=0+0.25}{27}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+5}{21}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(6.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,labels=y,Dx=1,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle,ticks]{->}(0,0)(0,0)(6.5,100)
\uput[u](5,0){\small Temps écoulé depuis}
\uput[d](5,0){\small le départ en heures}
\uput[r](0,95){\small Distance en km}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(2,40)(3,40)(4,65)(5.75,75)
\psline[linestyle=dashed](0,75)(2.5,0)
\uput[l](0,75){M}\uput[d](2.5,0){N}
\uput[d](1,0){1}\uput[d](2,0){2}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](2,40){A} \uput[d](3,40){B} \uput[dr](4,65){C} \uput[dr](5.75,75){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

Paul fait une promenade à bicyclette :

à 10 h 15, il part de Carville,

à 12 h 15, il passe à La Roseraie,

à 14 h 45, il passe à Kerpont (situé à 75 km de Carville).

Il termine sa promenade à Norville.

Sur le graphique ci-avant, la ligne polygonale OABCD, tracée en trait plein, représente la variation de la distance parcourue par Paul en fonction du temps écoulé depuis son départ.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de l'énoncé et du graphique, compléter les cases laissées blanches dans le tableau ci-dessous. (Aucune justification n'est demandée.)
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Heure &10 h 15&12 h 15&13 h 15&14 h 15&&15 h 45\\ \hline
Lieu &Carville&&&&Kerpont&Norville\\ \hline
Temps écoulé
depuis le départ en heures&0&2&3&&&5,5\\ \hline
Distance parcourue en kilomètres&0&&&&75 &95\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Sans justifier les réponses, répondre aux questions suivantes :
		
\begin{itemize}
\item Quelle est la distance entre Carville et Norville ? 
\item Quelle est la durée de la promenade de Paul ?
\item Que s'est-il passé entre 12 h 15 et 13 h 15 ?
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item En calculant la vitesse moyenne de Paul entre 10 h 15 et 12 h 15, puis sa vitesse moyenne entre 14 h 15 et 15 h 45, montrer qu'il a roulé à la même vitesse pendant ces deux périodes.

Comment aurait-on pu s'apercevoir de cela en observant le graphique sans faire de calculs ?
\item A 10 h 15, Pierre, un ami de Paul, est parti en moto de Kerpont, pour se rendre à Carville.

Sur le graphique ci-avant, le segment [MN], tracé en trait pointillé, représente la variation de la distance qui sépare Pierre de Carville en fonction du temps écoulé depuis son départ.
	\begin{enumerate}
		\item D'après le graphique, à quelle heure Pierre est-il arrivé à Carville ?
		\item Comment le graphique permet-il de dire qu'à 11 h 15, Paul était plus près de Carville que Pierre ?
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la droite (OA) puis de la droite (MN).
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection I des droites (OA) et (MN).
		\item Le point I correspond-il à un évènement vécu par Paul et Pierre ? Si oui préciser lequel, l'heure correspondante et la distance de Carville à laquelle il s'est produit.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}