\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Nantes juin 1991},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1991}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un formulaire de mathématiques on trouve le dessin ci-dessous et la relation qui permet de calculer la longueur $L$ de la médiane [AI] lorsqu'on connaît les longueurs $a, b, c$, des trois côtés du triangle ABC.

\[L^2 = \dfrac14\left(2b^2 + 2c^2 - a^2\right)\]

\smallskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3.4)
\pspolygon(0.5,0.7)(4.7,0.7)(0.8,2.9)%BCA
\uput[ul](0.8,2.9){A} \uput[dl](0.5,0.7){B} \uput[dr](4.7,0.7){C}\uput[ur](2.6,0.7){I}
\psline(0.8,2.9)(2.6,0.7)%AI
\uput[dl](1.7,1.8){$L$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.4)(4.7,0.4)\uput[d](2.6,0.4){$a$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,0.7)(0.4,2.9)\uput[ul](0.2,1.8){$c$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.8,3.1)(4.74,0.88)\uput[ur](2.75,2){$b$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on indiquera sur la copie les étapes du calcul.

Calculer la valeur exacte de $L$ dans le cas :

\[a = \sqrt 2~\text{cm} \:; \:  b = \dfrac53~\text{cm} \:;\:  c  = \dfrac43~\text{cm}.\]

\item Donner une valeur approchée de $L$ au millimètre près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le tableau ci-dessous, on propose six débuts de phrases, et pour chacun d'eux trois propositions pour terminer la phrase. 

Dans chaque cas, entourer la proposition qui permet d'énoncer une affirmation vraie. (Dans chaque cas une seule proposition convient.)

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{1.} Le nombre $5\cdot 10^{-3}$ s'écrit encore		&$50^{-1}$&\np{-5000}&0,005\\ \hline
\textbf{2.} Une expression factorisée de $9x^2- 169$ est	&$(9x - 13)(9x + 13)$& $(3x - 13)^2$&$(3x - 13)(3x + 13)$\\ \hline
\textbf{3.} Un article vaut $x$ francs. Cet article augmente de 5\,\%; son nouveau prix est
									&$\dfrac{5x}{100}$&$\dfrac{105x}{5}$&$\dfrac{105x}{100}$\\ \hline
\textbf{4.} Le nombre $\left(3 - \sqrt 2 \right)^2$ s'écrit encore&7&$11 - 6\sqrt 2$&$\left(- 3\sqrt 2 \right)^2$\\ \hline
\textbf{5.} Une solution de l'équation
$3x^2 - 5x + 2 = 0$ est				&$-1$&$\dfrac23$&$\dfrac73$\\ \hline
Les solutions de l'inéquation
 
$4x + 1 \geqslant 7x - 5$ 

sont		&Tous les
nombres inférieurs ou égaux à 2&Tous les nombres supérieurs ou égaux à $2$&Tous les nombres supérieurs ou égaux à $- 2$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}



\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Une pyramide ABCDE est inscrite dans un pavé droit dont la base BCDE est un carré de côté 4 cm et dont la hauteur
mesure 3cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3.8)
\psframe(0,0.2)(2.8,2.2)
\psline(2.8,0.2)(4.1,1.6)(4.1,3.6)(2.8,2.2)%CBA?
\psline(4.1,3.6)(1.3,3.6)(0,2.2)%A??
\psline[linestyle=dashed](2.8,0.2)(4.1,3.6)(0,0.2)(1.3,1.6)%(2.8,2.2)
\psline[linestyle=dashed](4.1,1.6)(1.3,1.6)(1.3,3.6)%BE
\psline[linestyle=dashed](4.1,3.6)(1.3,1.6)%AE
\uput[ur](4.1,3.6){A} \uput[r](4.1,1.6){B} \uput[dr](2.8,0.2){C} \uput[dl](0,0.2){D}\uput[l](1.3,1.6){E} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la pyramide.
\item Calculer AB.
\item Dessiner en vraie grandeur, dans le plan de la feuille, la face AED de la pyramide.
\item Calculer la valeur exacte de AD. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB = 5 cm, on
place le point C défini par 

$\widehat{\text{BAC}} =  38\degres$ (voir dessin ci-dessous).

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(0,-0.2)(4.5,2)
\psarc(1.8,0.2){1.8}{0}{180}
\psline(3.6,0.2)(0,0.2)(2.4,1.875)%AC
\uput[d](0,0.2){A} \uput[d](3.6,0.2){B} \uput[ur](2.4,1.875){C} \uput[d](1.8,0.2){O} 
\psline(1.8,0.3)(1.8,0.1)
\psarc(0,0.2){0.4}{0}{38}\rput(0.75,0.4){\small $36\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dire pourquoi le triangle ABC est rectangle en C. 

Calculer la longueur AC. 

On donnera une valeur approchée au millimètre près.
\item On note O le milieu du segment [AB] et on dessine la tangente en C au demi-cercle ; cette tangente coupe la droite (AB) au point T.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la mesure de chacun des angles : $\widehat{\text{ACO}}\:;\: \widehat{\text{AOC}}\:;\: \widehat{\text{COB}}$ en justifiant les réponses.
		\item Calculer une valeur approchée au millimètre près de la longueur CT.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un plan a été pavé à l'aide de motifs superposables identiques à celui dessiné ci-après:

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(0,0)(3,4)
%\psgrid
\pspolygon[linecolor=red](1,0)(1,1)(0,1)(0,2)(1,2)(1,3)(2,3)(2,4)(3,4)(3,3)(4,3)(4,2)(3,2)(3,1)(2,1)(2,0)
\end{pspicture}
\end{center}

Voici, ci-dessous, une représentation d'une partie de ce pavage :

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(20,12)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
\def\mot{\pspolygon[linecolor=black](1,0)(1,1)(0,1)(0,2)(1,2)(1,3)(2,3)(2,4)(3,4)(3,3)(4,3)(4,2)(3,2)(3,1)(2,1)(2,0)}
\def\motb{\pspolygon[linecolor=black](1,0)(1,1)(0,1)(0,2)(1,2)(1,3)(2,3)(2,4)(3,4)(3,3)(4,3)(4,2)(3,2)(3,1)(2,1)(2,0)}
\multido{\n=0+4}{5}{\rput(\n,0){\mot}}
\multido{\n=6+4}{4}{\rput{90}(\n,2){\motb}}
\multido{\n=4+4}{4}{\rput(\n,4){\mot}}
\multido{\n=10+4}{3}{\rput{90}(\n,7){\motb}}
\psdots(16,7)\uput[r](15,7){A}
\psdots(13,6)\uput[dl](12,6){C}
\psdots(12,3)\uput[r](11,3){B}
\rput(8,9){2}\rput(12,9){1}\rput(16,9){3}
\rput(6,6){4}\rput(10,6){5}\rput(14,6){6}\rput(18,6){7}
\rput(4,4){8}\rput(8,4){9}\rput(12,4){10}\rput(16,4){11}
\rput(2,2){12}\rput(6,2){13}\rput(10,2){14}\rput(14,2){15}\rput(18,2){16}
\end{pspicture}
\end{center}

Recopier sur votre copie les phrases suivantes en les complétant (aucune justification n'est demandée).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le transformé du motif \no 1 par la symétrie d'axe (AB) est le motif portant le numéro \ldots.
\item Le transformé du motif \no 1 par la translation de vecteur AB est le motif portant le numéro \ldots.
\item Le transformé du motif \no 1 par la symétrie de centre C est le motif portant le numéro \ldots.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Soit ABC un triangle isocèle dont la base est [BC]. On note O le milieu de [BC].

On connaît: BC $= 4$cm ; OA $= 6$~cm.

Sur la demi-droite d'origine O qui contient A, on place le point E tel que OE $= 10$~cm.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-5,-0.2)(5,9.6)
\psline(-5,0)(5,0)\psline(0,0)(0,9.6) \psline(-0.1,9.2)(0.1,9.2)
\psline(-1.9,0)(0,5.5)(1.9,0)%BAC
\uput[ur](0,5.5){A} \uput[d](-1.9,0){B} \uput[d](1.9,0){C} \uput[d](0,0){O} \uput[r](0,9.2){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite (AO) est la médiatrice de [BC].
		\item Démontrer que AB $= \sqrt{40}$~cm.
	\end{enumerate}	
\item Soit M le milieu de [AB] et P le milieu de [AC].
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le quadrilatère AMOP est un losange.
		\item Démontrer que OM $= \sqrt{10}$~cm.
	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que MP $= 2$~cm.
		\item Démontrer que l'aire du triangle OMP est égale à $3$~cm$^2$.
		\item Démontrer que l'aire du triangle COP est égale à l'aire du triangle OMP.
	\end{enumerate}	
\item La droite qui contient E et qui est parallèle à (AB) coupe la droite (BC) en H.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que OH $= \dfrac{10}{3}$~cm.
		\item Calculer la valeur exacte de CH.
	\end{enumerate}
\item La droite (AC) coupe la droite (EH) en K.
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle CHK est un agrandissement du triangle COP. 
		
Par quelle fraction faut-il multiplier les dimensions du triangle COP pour obtenir celles du triangle CHK ?
		\item Calculer l'aire du triangle CHK.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}