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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1993}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire chacun des nombres $A$ et $B$ sous forme de fraction la plus simple possible (fraction irréductible) :

\[A = \dfrac37 - \dfrac67 \times \dfrac13\:; \qquad  B = \left(\dfrac13\right)^2 + \dfrac16.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $C = (3x + 2)^2$.
\item Développer et réduire $D = (2x - 1)^2$.
\item Réduire et ordonner $C - D$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip Factoriser $16x^2 - 25$.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation : $5(5 - x) = 3(3 - x)$.
\item Lorsqu'on retranche un même nombre $x$ au numérateur et au dénominateur de la fraction $\dfrac53$ on obtient la fraction $\dfrac35$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire une équation qui permet de trouver $x$.
		\item Donner la valeur de $x$.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Timothée pense à un nombre entier, positif, non nul, noté $x$. 

Il remarque que $2x +1 > 5x - 12$.

Écrire la liste des nombres auxquels a pu penser Timothée.

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Les sept questions de cet exercice sont indépendantes}

\medskip


Dans un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI = OJ = 1cm, on considère les points A$(-1~;~3)$ et B(3~;~5).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter A et B dans ce repère.
\item  Donner les coordonnées de $\vect{\text{AB}}$.
\item  Calculer la valeur exacte de la longueur AB.
\item  Donner sans justification le coefficient directeur de la droite (AB).
\item  Donner sans justification une équation de la droite (AB).
\item  Représenter dans le repère (O, I, J) la droite $(D)$ d'équation $y = -2x + 1$.
\item  Donner sans justification une équation de la droite $(\Delta)$ passant par O et parallèle à la droite $(D)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère la figure ci-dessous sur laquelle ABCD est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en O. Les points A, O, C, E sont alignés et OC = CE.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.3,-2.7)(4.2,2.4)
%\psgrid
\pspolygon(-1.3,1.2)(2.8,2)(1.3,-1.2)(-2.8,-2)%ABCD
\psline(-1.3,1.2)(1.3,-1.2)(2.6,-2.4)%CE
\psline(2.8,2)(-2.8,-2)%BD
\uput[ul](-1.3,1.2){A} \uput[ur](2.8,2){B} \uput[d](1.3,-1.2){C}
\uput[dl](-2.8,-2){D} \uput[r](2.6,-2.4){E} \uput[d](0,0){O}
\psline(-0.8,0.6)(-0.6,0.7)\psline(0.8,-0.6)(0.6,-0.7)
\psline(1.8,-1.8)(2.,-1.7)
\psdots(1.4,1)(-1.4,-1)
\end{pspicture}
\end{center}

Parmi les égalités suivantes, certaines sont fausses et d'autres sont vraies. 

Réécrire sur votre copie les égalités qui sont vraies. 

Il est inutile de justifier, mais réécrire une égalité fausse sera pénalisé.

\[\begin{array}{l c l}
\vect{\text{OA}}& =& \vect{\text{OC}}\\
\vect{\text{OC}} &=& \vect{\text{CE}}\\
\vect{\text{BE}} &=& \vect{\text{BO}} + \vect{\text{OE}} \\
\vect{\text{BC}} &=& \vect{\text{CA}} + \vect{\text{AB}}\\
\vect{\text{AC}} &=& \vect{\text{AD}} + \vect{\text{AB}}
\end{array}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-2)(2.7,1.5)
%\psgrid
\pspolygon(-2.4,1.1)(2.4,1.1)(2.4,-1.1)(-2.4,-1.1)%ABCD
\psline(-2.4,1.1)(2.4,-1.1)%AC
\psline(2.4,1.1)(-2.4,-1.1)%BD
\psline(2.4,1.1)(0.6,-2)%BE
\psframe(-2.4,1.1)(-2.2,0.9)%\psframe(2.4,1.1)(2.2,0.9)
\psframe(2.4,-1.1)(2.2,-0.9)\psframe(-2.4,-1.1)(-2.2,-0.9)
\uput[ul](-2.4,1.1){A} \uput[ur](2.4,1.1){B} \uput[d](2.4,-1.1){C}
\uput[dl](-2.4,-1.1){D} \uput[r](2.6,-2.4){E} \uput[d](0,0){O}\uput[dr](1.2,-1.1){E}
\psarc(2.4,1.1){0.5}{204}{237}
\psarc(2.4,1.1){0.4}{237}{270}
\uput[u](0,1.1){5 cm}
\uput[l](-2.4,0){2 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Écrire un texte qui permet de faire construire cette figure.
\item On pose $\widehat{\text{EBC}} = 34\degres$.

Démontrer que $\widehat{\text{DOC}} = 136\degres$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.6,3.4)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(6.1,0.2)(4.7,2.8)%BCA
\psline(4.7,2.8)(4.7,0.2)%AI
\psline(3,0.2)(4.7,1.1)%FK
\psframe(4.7,0.2)(4.9,0.4)%
\uput[u](4.7,2.8){A} \uput[l](0.2,0.2){B} \uput[r](6.1,0.2){C}
\uput[d](3,0.2){F} \uput[r](4.7,1.1){K} \uput[d](4.7,0.2){I}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

L'unité est le centimètre ; AB $= 6\sqrt 3$ ; BC$ = 12$ ; AC $= 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
\item Démontrer que $\widehat{\text{ACB}} = 60\degres$.
\item [AI] est la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

Démontrer que IC $= 3$.
\item F est le milieu de [BC] ; K est le point de [AI] tel que (FK) soit parallèle à (AB).
Calculer IF puis IB. 

Montrer par le calcul que FK $= 2\sqrt 3$.
\item Démontrer que FAC est un triangle équilatéral.
\item Le triangle équilatéral FAC va servir de base à une pyramide régulière SAFC dont toutes les arêtes ont même mesure. On admet que [SK] est la hauteur de cette pyramide.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-1.1)(2.4,3.4)
%\psgrid
\pspolygon(-2.15,-0.9)(2.15,-0.9)(0,3)%FCS
\psline[linestyle=dashed](-2.15,-0.9)(0,0)(0,3)(0.15,0.9)(-0.15,-0.9)%FKSAI
\psline[linestyle=dashed](-2.15,-0.9)(0.15,0.9)(2.15,-0.9)%FAC
\psline(0,0.2)(-0.2,0.12)(-0.2,-0.06)
\uput[ur](0.15,0.9){A} \uput[d](-0.15,-0.9){I} \uput[r](2.15,-0.9){C}
\uput[l](-2.15,-0.9){F} \uput[r](0,0){K} \uput[u](0,3){S}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Représenter à l'échelle $\dfrac12$ un développement (patron) de cette pyramide.
		\item Montrer par le calcul que SK $= 2\sqrt 6$.
		\item Sachant que l'aire de la base FAC de cette pyramide est $9\sqrt 3$ cm$^2$, calculer le volume exact de cette pyramide. 
		
Écrire le résultat obtenu sous la forme $a\sqrt b$ cm$^3$, avec $a$ et $b$ entiers et $b$ le plus petit possible.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}