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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Nantes}}
\rfoot{\small{septembre 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nantes septembre 1969}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Trois nombres, $x,\: y$ et $z$, sont proportionnels respectivement à 5, 7 et 11.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quels sont ces nombres s'ils vérifient $x - 2y +3z = 48$ ?
\item Quels sont ces nombres s'ils vérifient $x- my +z = 72$, 
$m$ étant un nombre donné ?

Quelle est la valeur que ne peut pas prendre $m$ ?
\item Dans les résultats de la question précédente, on désire que $x,\: y$ et $z$ soient trois entiers positifs.

Quelle condition le nombre $16 - 7m$ doit-il remplir ?

Combien existe-t-il de valeurs pour $m$ vérifiant cette condition ?
\item On désire de plus que $|m|$ soit un entier.

Trouver $m$ (il y a plusieurs valeurs possibles) et calculer les valeurs correspondantes pour $x,\: y$ et $z$.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On donne un triangle équilatéral ABC ; la mesure commune à ses côtés est désignée par $a$.

[B$x)$ et [C$y)$ sont deux demi-droites définies de la façon suivante : B et C sont respectivement leurs origines ; leurs supports sont parallèles respectivement à (CA) et à (BA) ; elle sont situées l'une et l'autre du même côté de la droite (BC) que le point A.

Les supports de ces demi-droites se coupent en E. Une droite $(D)$ passe par A, coupe [B$x)$ en M et [C$y)$ en P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer $\dfrac{\text{MB}}{\text{BE}}$ et $\dfrac{\text{MA}}{\text{AP}}$.

Comparer $\dfrac{\text{PC}}{\text{CE}}$ et $\dfrac{\text{PA}}{\text{AM}}$.
\item Démontrer la relation BM $\cdot$ CP $= a^2$ à partir des résullats de la question précédente.
\item On trace les droites (MC) et (PB) : elles se coupent en I.

Démontrer que les triangles BCM et CPB sont semblables.
\item Déduire de la question précédente que le triangle ICB est semblable à la fois à BCM et à CPB.

Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{BIC}}$ ?
\item Démontrer la relation CM $\cdot$ CI $= a^2$.
Démontrer que le centre du cercle circonscrit au triangle BIM appartient à une droite fixe quand $(D)$ pivote autour de A.
\end{enumerate}
\end{document}