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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nantes septembre 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On envisage l'expression suivante:
\[E(x) = 16y^2 - 9\left(4x^2 + 4x + 1\right).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $E(x)$ sous la forme d'un produit de deux binômes du premier degré en $x$ et $y$.
\item Étudier les variations de la fonction qui, à $x$, associe $y = -\dfrac32 x - \dfrac34$.

Tracer la représentation graphique $\left(D_1\right)$ de ces
variations dans un repère orthonormé $\left(x'\text{O}x, y'\text{O}y\right)$.

Donner les coordonnées du point d'intersection I, de $\left(D_1\right)$ et de l'axe $x'\text{O}x$.
\item Résoudre l'inéquation
\[-\dfrac32 x - \dfrac34 > 0.\]

Pour quelles valeurs réelles de $x$ l'expression 
\[z = \left|- \dfrac32 x - \dfrac34\right|\]

est-elle égale à $\dfrac32 x + \dfrac34$ ?
\item Dans le repère utilisé à la question 2., construire la droite $\left(D_2\right)$ ayant pour équation
\[y = - \dfrac32 x + \dfrac34\]

et démontrer que les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ sont symétriques par rapport à l'axe $x'\text{O}x$.
\item Tracer la représentation graphique des variations de
\[z = \left|- \dfrac32 x - \dfrac34\right|.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Une droite (F) partage le plan en deux régions (I) et (II).

On considère sur cette droite les trois points A, O et B marqués dans cet ordre.

L'unité de longueur étant le millimètre, on donne les longueurs suivantes :

\begin{center}AO $= 48$\quad et \quad OB $= 143$.\end{center}

On trace quatre demi-cercles :

\begin{itemize}
\item le premier a son centre en O ; son rayon est égal à $132$ ; il est tracé dans (I) ;
\item le second a son centre en B ; son rayon est égal à $55$ ; il est tracé dans (I) ;
\item le troisième a son centre en O ; son rayon est égal à $52$ ; il est tracé dans (II) ;
\item le quatrième a son centre en A ; son rayon est égal à $20$ ; il est tracé dans (II).
\end{itemize}

Les deux premiers se coupent en C et les deux derniers se coupent en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles AOD et COB sont semblables.
\item En déduire que D, O et C sont alignés.
\item Démontrer que le triangle OAD est rectangle.
\item Démontrer que le quadrilatère DACB est inscriptible dans un cercle (U) ; préciser la position du centre I, de ce cercle (U).
\item Les droites (DA) et (BC) se coupent en S.

Comparer SA $\cdot$ SD et SC $\cdot$ SB.
\end{enumerate}










\end{document}