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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nantes septembre 1972~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On donne les deux expressions suivantes : 

\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (x - 1) (4x - 5) - 2(4x - 5)^2 - (5 - 4x)(5x - 6)\:\:\text{ et}\\
B(x) &=& \left(2x^2 + 2x - 7\right)^2 - 4\left(x^2 - x - 1\right)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $A(x)$ et $B(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Soit $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$ ; pour quelles valeurs de $x$
l'expression $F(x)$ est-elle définie ?

Quand $F(x)$ est définie, l'écrire sous la forme la plus simple possible.
\item Soit $G(x) = \dfrac{1}{2x + 3}$ ; pour quelles valeurs de $x$ l'expression $G(x)$ est-elle définie ?
Résoudre l'équation $G(x) = \dfrac{2}{11}$.

Résoudre l'équation $F(x) = - \dfrac{2}{11}$.
\item Calculer les valeurs numériques de $G(x)$ et de $F(x)$
	\begin{enumerate}
		\item pour $x = 0 $ ;
		\item pour $x = \dfrac32$ ;
		\item pour $x = 1 + \sqrt 3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On rappelle que le côté du carré inscrit dans un cercle de rayon $R$ est mesuré par $R \sqrt 2$ et que le côté du triangle équilatéral inscrit dans le même cercle est mesuré
par $R\sqrt 3$.

Soit un cercle $(\gamma)$ dont O est le centre et dont le rayon
est mesuré par $R$.

On inscrit dans ce cercle un triangle (ABC) tel que la mesure de [AB] soit égale à la mesure du côté du carré inscrit et celle de [AC] à la mesure du côté du triangle équilatéral inscrit.

On suppose de plus que les trois angles du triangle sont aigus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer une construction du triangle (ABC).

Calculer ses angles.
\item Calculer, en fonction de $R$, les mesures de la hauteur issue de A et du côté [BC] du triangle (ABC).

Quelle est l'aire de ce triangle ?
\item La perpendiculaire à (BC) issue de A recoupe $(\gamma)$ en D ; quelle est la nature du quadrilatère (ABDC) ?

Quel est, en fonction de $R$, le périmètre de ce quadrilatère ?
\item Soit E le symétrique de D par rapport à (BC); quel est le rôle de E dans le triangle (ABC) ?
\end{enumerate}
\end{document}