\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Nantes septembre 1973},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nantes}}
\rfoot{\small{septembre 1973}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nantes septembre 1973~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Exercice I}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, 
on appelle O$x$ l'axe dirigé par $\vect{\imath}$ et O$y$ l'axe dirigé par $\vect{\jmath}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$  ayant pour équations :

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
2x - y - 4 &=&0, & \text{pour}\: \left(D_1\right)\\
x + 2y - 7 &=& \text{pour}\: \left(D_2\right).
\end{array}\right.\]
\item Calculer les coordonnées du point, A, commun à ces deux droites.
\item Comparer les directions de ces deux droites.
\item Indiquer les points du plan dont les coordonnées
vérifient à la fois les trois conditions :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
-2x + y + 4& >& 0,\\
x + 2y - 7 &<&0,\\
x &>&0.
\end{array}\right.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

Soit les deux polynômes définis par
\[\begin{array}{l c l}
u(x)&=&2x^2 - \left(x\sqrt 2 + 3\right)\left(\sqrt 2 - 3\right)
+4x - (3x + 11)\:\text{et}\\
v(x)&=&(x - 4)^2 - (x + 4)^2 - (- 15x - 7).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les écritures de $u(x)$ et de $v(x)$.
\item Indiquer l'ensemble de définition de
\begin{center}$r(x) = \dfrac{ u(x) - 5}{v(x)}$\quad et de  $s(x) = \dfrac{u(x) + 9}{v(x)}$.\end{center}

Simplifier les écritures de ces rapports.
\item Calculer $s\left(\sqrt 8\right)$.

Encadrer le résultat par deux nombres décimaux, écrits l'un et l'autre avec deux décimales, en utilisant les égalités suivantes :

\begin{center}$141^2 = \np{19881}$\quad et \quad $142^2 = \np{20164}$.\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit (A, B, C) un triangle où sont réalisées les trois conditions suivantes :

\begin{tabular}{l}
$\bullet~~$les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires,\\
$\bullet~~$AC $= a$,\\
$\bullet~~$BC $= \dfrac{2a}{\sqrt 3}$
\end{tabular}

où $a$ est un réel positif donné.

Soit M le point du segment [AB] défini par AM $= x$ ; la parallèle à (BC) issue de M coupe (AC) en N.

M se projette orthogonalement en Q sur (BC) et N se projette orthogonalement en P sur (BC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AB.

Entre quelles valeurs peut-il varier ?
\item Quelle est la nature du quadrilatère (M, N, P, Q) ?
\item Déterminer les écarts angulaires des angles géométriques $\widehat{\text{ABC}}$ et $\widehat{\text{ACB}}$ et des angles géométriques 
$\widehat{\text{ANM}}$ et $\widehat{\text{BMQ}}$.
\item Calculer AN , MN, MB et QM en fonction de $x$.
\item Déterminer la position de M sur le segment [AB] de façon que le périmètre du triangle (A, M, N) égale le périmètre du quadrilatère (M, N, P, Q).
\end{enumerate}
\end{document}