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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nantes septembre 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R$, le système suivant : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2y - 4x + 6 &=&0\\
y + 3x -  7&= &0
\end{array}\right.\]

\item Étudier, puis représenter dans le plan muni du repère \Oij, les fonctions $f(x)$ et $g(x)$ :
\[\begin{array}{l l c l}
f :& \R &\to&\R\\
&x &\longmapsto& y = 2x - 3
\end{array} \qquad \begin{array}{l l c l}
f :& \R &\to&\R\\
&x &\longmapsto& y = - 3x + 7
\end{array}\]

Déterminer les coordonnées du point I, intersection des droites représentatives des fonctions $f$ et $g$.

Pouvait-on prévoir ce résultat ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $A(x)$ et $B(x)$ :
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& 2(2x - 3)^2 - (x + 4) (x - 2)\\
B(x) &=& (3x - 4) (5x + 2)
\end{array}.\]

\item Factoriser $C(x)$ et $D(x)$ :
\[\begin{array}{l c l}
C(x)&=&(5x - 3)^2 - (2x - 1)^2\\
D(x)&=&30 x^2 - 28x - 16
\end{array}\]
\item Soit $E(x) = \dfrac{C(x)}{B(x)}.$

Après avoir déterminé l'ensemble de définition de $E(x)$, simplifier cette expression.

Calculer $E(0)$ et $E\left(\dfrac34\right)$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

\smallskip

Soit, dans le plan euclidien, un triangle isocèle (A, B, C) : $d$(A, B) = $d$(C, B) $= 5$  et $d$(A, C)$ = 6$.

Soit M le milieu de [AC], H le projeté orthogonal du point A  sur la droite (BC) et D le projeté orthogonal du point M sur la droite (BC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer:
	\begin{enumerate}
		\item que (AH) et (MD) appartiennent à la même direction.
		\item que Dest le milieu de [HC].
	\end{enumerate}
\item Calculer:

$d$(C, M) ; $d$(C, D) ; $d$(D, M) ; $d$(A, H).
\item Soit E le point du plan défini par
\[\vect{\text{CE}} = \vect{\text{BA}}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, E)
		\item Démontrer que les points B, M et E sont alignés.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le cercle circonscrit du triangle (M, D, C) est tangent à la droite (BE).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le cosinus de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACH}}$.
		\item Calculer le sinus et la tangente de ce même écart angulaire.
		\item I est le point commun à (AH) et (BE).
		
Calculer $d$(A, I) et $d$(I, M).

Quel rôle joue I dans le triangle (A, B, C) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}