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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small septembre 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soit $f$ et $g$ deux fonctions polynômes définies dans $\R$ par:
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& (2x + 5)(3x - 4) - \left(9x^2  - 16\right) + (3x - 4)^2\\
g(x) &=&(7x  - 5)^2 - (5x - 2)^2
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ et $g(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Ecrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Résoudre $f(x) = 0$
7
\item Calculer $g\left(\dfrac{7}{12}\right)\:;\: g(0)$ et $g\left(\sqrt 2\right)$.
\item Soit la fonction rationnelle $h$ qui, à $x$, associe $h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Déterminer son ensemble de définition $E$.

Pour $x$ élément de $E$, simplifier l'écriture de $h(x)$.
\item Calculer $h\left(\dfrac{\sqrt 3}{3}\right)$ ; donner le résultat sous la forme d'un quotient dont le dénominateur est entier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Le plan euclidien est rapporté au repère orthonormé \Oij{} ; les points A et
B sont définis par: 
\begin{center}$\vect{\text{OA}} = - 2\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}$\quad  et \quad $\vect{\text{OA}} = 4\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner une figure où sont représentés ces divers éléments ; cette figure sera complétée au fur et à mesure de l'avancement du problème.
\item Démontrer que $\vect{\text{AO}}$ et $\vect{\text{BO}}$ sont orthogonaux et que leurs normes sont égales.
\item Soit D le symétrique de B par rapport à O.

Démontrer que (AO) est la médiatrice de [BD] et que le triangle (B, A, D) est rectangle et isocèle.
\item Soit C le symétrique de A par rapport à O : quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?
\item Soit E le symétrique de A par rapport à B : quelle est la nature du quadruplet (B, E, C, D) ?

Quelle est la nature du triangle (A, C, E) ?

Quelle est la médiatrice de [AE] ?

Quelles sont les coordonnées de E ?
\end{enumerate}
\end{document}