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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small septembre 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

Les application polynômes $f$ et $g$ sont définies dans $\R$ par 
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&\left(4x^2 -  4x + 1\right)\left[(x - 1)^2 - 4\right]\\
g(x) &=&\left(x^2 - 6x + 9\right)\left[\left(x^2 -  1\right)+ x(x + 1)\right]
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de produits de binômes du premier
degré.
\item Quel est l'ensemble de définition de la fonction rationnelle $h$ qui, à $x$, associe $h(x)$ :
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]
\item Si $x$ appartient à cet ensemble de définition, démontrer que $h(x)$ peut s'écrire:
\[h(x) = \dfrac{2x - 1}{x - 3}.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $h(x) = 1$.
		\item Calculer $h\left(\dfrac43\right)$.
	\end{enumerate}
\item Dans le plan muni du repère \Oij, tracer les droites $(d)$ et $(d')$ représentant respectivement les applications définies par:
	
\begin{center}$x\longmapsto 2x - 1$ pour $(d)$, \qquad $x \longmapsto x - 3$ pour $(d')$.\end{center}

Expliquer comment on peut retrouver graphiquement les deux résultats de la quatrième question.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Sur une demi-droite [A$x$) on considère les points B, C et D définis par 
\begin{center}$d$(A, B) $= a$, \quad $d$(A, C) $= 2a$, \quad $d$(A, D) $= 3a$\end{center}

où $a$ représente un réel strictement positif.

Sur l'une des demi-droites perpendiculaires en B à [A$x$), on marque le point P
défini par 

$d$(B,~P) $= a$.

Soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (PD).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle (P{}, B, C) ? 

Calculer $d$(P{}, C).
\item Démontrer que les points P{}, B, C et H appartiennent à un même cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon.
\item Démontrer que la droite (AP) est tangente au cercle $\mathcal{C}$ en P.
\item Calculer $d$(P{}, D).

Évaluer le cosinus de l'écart angulaire de $\widehat{\text{HOC}}$ et en déduire $d$(H, D), $d$(P, H) et $d$(H, C).
\item La parallèle à [A$x$) qui contient P coupe $\mathcal{C}$ en E.

Préciser la nature du quadrilatère (P{}, E, D, C).
\end{enumerate}
\end{document}