\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Nantes septembre 1979},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small septembre 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans R, les équations suivantes:
\[\begin{array}{l c l}
3x - x^2&=&0 \:;\\
x^3 +3x^2&=&0 \:;\\
18 - 2x^2&=&0.
\end{array}\]
\item $f,\: g$ et $h$ sont les fonctions rationnelles, de $\R$ dans $\R$, définies par

\[f(x) = \dfrac{7x}{3x - x^2}\:;\quad  g(x) = \dfrac{4x^2}{x^3 +3x^2}\:;\quad 
h(x) = \dfrac{48}{18 - 2x^2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les ensembles de définition $\mathcal{D}_f$, \: $\mathcal{D}_g$, et $\mathcal{D}_h$, de chacune de ces fonctions.
		\item Sur ces ensembles de définition respectifs, simplifier $f(x ),\: g(x)$ et $h(x)$ ; les écritures simplifiée seront notées $f'(x),\: g'(x)$ et $h'(x)$.
		\item Soit $S$ la fonction rationnelle, de $\R$ dans $\R$, définie par
\[S(x) = f'(x)+ g'(x) - h'(x).\]

Quel est l'ensemble de définition de $S$ ? 

Vérifier que, sur cet ensemble de définition, $S(x)$ s'écrit sous la forme
\[S(x) = \dfrac{3}{3 - x}.\]
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation $\dfrac{1}{S(x)} =3$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit (A, B, C) un triangle rectangle en A qui vérifie $d$(A, B) $= a$ et $d$(A, C) $= 2a$, $a$ étant un réel strictement positif. 

On appelle O le milieu de (B, C) et H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).

Faire la figure en prenant $a =3$, l'unité choisie étant le centimètre, mais dans les calculs on n'utilisera pas cette valeur numérique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $a$ : $d$(B, C); $d$(B, H) ; $d$(O, H) et $d$(A, H).

Calculer la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACB}}$ et la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{BAH}}$.
\item Soit $(\Delta)$ la médiatrice de (B, C). 

On note $S$ la symétrie orthogonale d'axe $(\Delta)$. Soit A$'$ l'image de A par $S$.

Déterminer les images respectives des droites
(AB) et (AC) par $S$. 

En déduire la nature du triangle (A$'$, B, C) puis la distance de A$'$ à C en fonction de $a$.
\item Démontrer que les points B, A, A$'$ et C appartiennent à un même cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon.
\item On appelle I le point d'intersection de $(\Delta)$ et de la droite (AA$'$).

Démontrer que (A, H, O, I) est un rectangle.
\item Calculer en fonction de $a$ le périmètre du quadrilatère défini par (A, B, C, A$'$).
\item E est J'image de B dans la translation de vecteur $\vect{\text{A}'\text{C}}$.

Démontrer que E appartient au cercle $\mathcal{C}$.

Démontrer que la droite (BC) est la médiatrice de [AE].
\end{enumerate}
\end{document}