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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1989}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $\left(5 + 2\sqrt 3\right)^2$ sous la forme $a + b\sqrt 3$ avec $a$ et $b$ entiers.
\item Écrire sous la forme d'une fraction la plus simple possible chacun des nombres suivants :

\[a = \dfrac47 + 2\:; \qquad b = (-1)^2- 5 \times \dfrac23\: ;\qquad  c =\dfrac35 : 2.\]

\item Soit l'expression

\[A = (3x + 2)(4x + 5) +(3x + 2)^2.\]

Écrire $A$ sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
\item (- 3) est-il solution de l'équation $5(x + 1)^2 = 2x$ ? 

Justifier la réponse.
\item Résoudre chacune des équations suivantes :

\[7 - \dfrac x4 = 5 - x\:; \qquad x^2 = 7.\]

\item Je dépense le quart de mon salaire mensuel pour mon logement et les $\dfrac25$ pour la nourriture. Il me reste \np{2520} F pour mes autres dépenses. 

Quel est mon salaire mensuel ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer un losange ABCD tel que :
		
\begin{center}AC $= 6$ cm et BD $= 4$ cm.\end{center}

		\item Placer le point E symétrique du point B par rapport au
point C.
		\item Démontrer que $\vect{\text{AD}} = \vect{\text{CE}}$.
		
		\item Construire le point I tel que $\vect{\text{BI}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BD}}$, puis le point J tel que $\vect{\text{DJ}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BD}}$. 

Expliquer les constructions.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Tracer un triangle équilatéral ORS de côté $6$~cm.
		
Placer le point H, projeté orthogonal de O sur la droite (RS).
		\item Calculer le périmètre du triangle ORS.
		\item Calculer la valeur exacte de OH.
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle ORS.
		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans un repère orthonormé, placer les points.
\begin{center}A(2~;~2) et B$(- 2~;~3)$.\end{center}
		\item Donner une équation de la droite (AB).
		\item Tracer la droite $(D)$ d'équation $y = - \dfrac{4}{15} x$ et justifier le tracé.
		
Les droites $(D)$ et (AB) sont-elles parallèles ? Pourquoi?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un rectangle ABEK tel que AB $= 10$ cm et AK $= 6$ cm.

Placer le point L sur le segment [AB] de telle sorte que KL $= 9$ cm.

Tracer le cercle $(C)$ de diamètre [KL].

Le cercle $(C)$ coupe la droite (KE) en K et en H.
\item Démontrer que :
\begin{itemize}
\item le cercle $(C)$ passe par A;
\item le triangle LHK est rectangle en H ;
\item les droites (AK), (LH) et (BE) sont parallèles.
\end{itemize}
\item Calculer la valeur exacte de AL.
\item Les droites (KB) et (LH) se coupent en S. 

Calculer la valeur exacte de SH.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{AKL}}$ à un degré près
par défaut.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Angle en degrés&Sinus &Cosinus&Tangente\\ \hline
46 	&0,719 &0,694 	&1,035\\ \hline
47	&0,731	&0,681	&1,072\\ \hline
48	&0,743	&0,669	&1,110\\ \hline
49	&0,754	&0,656	&1,150\\ \hline
50	&0,766	&0,642	&1,191\\ \hline
51	&0,777	&0,629	&1,234\\ \hline
52	&0,788	&0,615	&1,279\\ \hline
53	&0,798	&0,601	&1,327\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{document}