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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small L'année 1994}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1994}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Europe centrale\footnote{Allemagne, Autriche, Danemark, Norvège, Russie, Suède} juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire: $A =(3x + 2) (5 - 4x)$.
\item Calculer la valeur exacte de $A$ pour $x = 0$ puis pour $x = - \dfrac23$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $B = (5x - 2)(x + 7) + (5x -  2)^2$.
\item Résoudre l'équation $(5x - 2) (6x + 5) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous forme d'une fraction irréductible $C = \dfrac{\dfrac23 - \dfrac14}{\dfrac23 + \dfrac14}$.
\item Écrire sous forme d'une puissance d'un nombre entier : 

\[D = \left(2^2\right)^3 ; \qquad  E = 5^4 \times 3^4.\]

\item On donne $F = 2 \times 10^{-8} \times 3 \times 10^6$.

Écrire $F$ sous la forme du produit d'un entier par une puissance de $10$, puis sans utiliser de puissance de $10$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.53\linewidth}
Dans le cube ABCDEFGH d'arête 3 cm, on note I le milieu de [AB] et on considère la pyramide DHGI.

On admettra que:

\begin{itemize}
\item le triangle IDH est rectangle en D ;
\item le triangle IHG est isocèle en I.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que la valeur exacte de ID est $\dfrac{3\sqrt 5}{2}$.
\item Calculer la valeur exacte de IH.
\item Dessiner en vraie grandeur un patron de la pyramide DHGI.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.43\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(4.3,4.8)
\psframe(0.2,0.2)(3.2,3.2)%EHDA
\psline(3.2,0.2)(4.1,1.4)(4.1,4.4)(3.2,3.2)%HGCD
\psline(4.1,4.4)(1.1,4.4)(0.2,3.2)%CBA
\psline(3.2,3.2)(0.65,3.8)%DI
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.1,1.4)(4.1,1.4)%EFG
\psline[linestyle=dashed](1.1,1.4)(1.1,4.4)%FB
\psline[linestyle=dashed](4.1,1.4)(0.65,3.8)(3.2,0.2)%GIH
\uput[l](0.2,3.2){A} \uput[u](1.1,4.4){B} \uput[u](4.1,4.4){C} \uput[r](3.2,3.2){D}
\uput[dl](0.2,0.2){E} \uput[l](1.1,1.4){F} \uput[r](4.1,1.4){G} \uput[dr](3.2,0.2){H}
\uput[l](0.65,3.8){I}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

ABC est un triangle rectangle en A. On donne $\widehat{\text{ACB}} = 25\degres$ et
AC $= 5$~cm. La hauteur issue de A coupe (BC) en H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en vraie grandeur.
\item Calculer des valeurs approchées à $10^{-1}$ près de AB et de AH.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

%fig

Sur la figure ci-dessous, Les droites (AD) et (BE) sont parallèles ;

 OA $= 2$, OE $= 5$, OB $= 3$, EF $= 5$, BE $= 3$ et BC $= 2,5$.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes de OD et de AD.
\item Les droites (EB) et (CF) sont-elles parallèles? Justifier.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.3,4)
%\psgrid
\psline(0,1)(9.3,4)%DOEF
\psline(0,2.6)(9.3,0)%AOBC
\psline(0.7,0.8)(2.3,2.2)%DA
\psline(4.1,1.1)(6.2,3.7)%BE
\psline(5.6,0.8)(5.95,1.2)
\psline(8.5,3.6)(8.8,4)
\uput[u](2.08,2){A} \uput[d](4.34,1.4){B} \uput[dr](5.8,1){C} \uput[dr](1.44,1.5){D}
\uput[ul](5.46,2.78){E} \uput[ul](8.7,3.7){F}
\uput[u](2.4,1.9){2}\uput[u](3.5,1.63){3}\uput[ul](4.9,2){3}\uput[u](4,2.3){5}
\uput[u](5.2,1.17){2,5}\uput[u](6.8,3.2){5}\uput[u](2.63,1.83){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\bigskip

Dans le plan muni du repère orthonormal (O, I, J), on considère les points A, B et C de coordonnées respectives $(-1~;~-1)$ ; (3~;~1) et $(-1~;~4)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure.
		\item Calculer les distances AC et BC.
		
En déduire que le triangle ABC est isocèle en C.
		\item Calculer les coordonnées du milieu B$'$ de [AC].
		
Démontrer que I est le milieu de [AB].
		\item Déduire des questions précédentes que (IC) est la média-
trice de [AB].
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite (IC).
		\item Donner sans justification, une équation de la médiatrice de [AC].
		\item Sur la figure, construire le cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle ABC et placer son centre K.
		\item Calculer les coordonnées de K en justifiant les calculs.
	\end{enumerate}	
\item Soit $(D)$ la droite d'équation $y = \dfrac32$ et soit E l'image du
point B par la symétrie d'axe $(D)$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image du triangle ABC par la symétrie d'axe
$(D)$ ? Justifier.
		\item Quelle est l'image du cercle $\mathcal{C}$ par la symétrie d'axe $(D)$ ?
		
Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}