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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1996}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire le nombre $A$ sous la forme d'une fraction la plus simple : 

\[A = \dfrac34 + \dfrac25 \times \dfrac{10}{3}.\]

\item Écrire $B$ sous la forme $a \sqrt 3$ avec $a$ entier :

\[B = \sqrt5 \times \sqrt{15}.\]

\item  Soit $C = 2x^2 - 3$.

Calculer $C$ pour $x= \sqrt 3$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Développer et réduire : $(x + 4)^2 - (5x - 4)$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre l'équation : $(x + 2)(3 - 2x) = 0$.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Paul achète 2 compas et 3 équerres, il paie $77$ F.

Pierre achète 3 compas et 4 équerres, il paie $111$ F.

Quel est le prix d'un compas ? Quel est le prix d'une équerre ?

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Un marchand a des crayons bleus, des crayons rouges et des crayons verts.

Les crayons bleus représentent les 53\,\% de la totalité des crayons.

Les crayons rouges représentent les $\dfrac{3}{10}$ de la totalité des crayons.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les crayons verts représentent un pourcentage de la totalité des crayons. Quel est ce pourcentage ?
\item En tout le marchand a 300 crayons. Combien a-t-il de crayons bleus ?
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Sur la figure ci-contre, on a : 

CAD =90° ; CBA=90° ; BAC=50°; AD=5cm; AC=7cm.

\begin{enumerate}
\item Calculer BC, puis en donner la valeur arrondie au mm près. ˆ
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ADC}}$ en donnant sa valeur arrondie à un degré près.
\item Les droites (EF) et (CD) sont parallèles et AE = 2,5 cm.

Calculer AF. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au mm près.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(5,7.3)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(4.6,0.2)(2.8,6.9)(0.2,3.8)%BCDA
\psline(1.2,5)(1.83,2.44)%FE
\uput[l](0.2,3.8){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](4.6,0.2){C}
\uput[u](2.8,6.9){D} \uput[d](1.83,2.44){E} \uput[ul](1.2,5){F}
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\rput{-45}(0.2,3.8){\psframe(0.2,0.2)}
\psline(0.2,3.8)(4.6,0.2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur la figure ci-après, le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L’unité de longueur est le centimètre.

\begin{center}
\psset{unit=5mm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-5,-4)(9,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-4)(9,6)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{9}{2 0.4 x mul sub}
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner sans justification une équation de la droite $\left(D_1\right)$ représentée sur cette figure.
\item Représenter sur cette même figure la droite $\left(D_2\right)$ d'équation :
\[y = \dfrac23 x - 2.\]

\item Donner sans justification une équation de la droite $\left(D_3\right)$ passant par O et
parallèle à $\left(D_2\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
SABCD est une pyramide régulière à base carrée de sommet S et de hauteur [SO].

On a : SB = 5 cm et AC = 6 cm.

Dessiner en vraie grandeur le carré ABCD, ainsi que les triangles SOB et SBC.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-2.7,-1.2)(2.7,4.2)
%\psgrid
\psline(0,4.2)(-2.5,0.2)(0.5,0.2)(0,4.2)(2.5,1)(0.5,0.2)%SABSCB
\pspolygon[linestyle=dashed](-2.5,0.2)(-0.5,1)(2.5,1)%ADC
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.2)(-0.5,1)(0,4.2)(0,0.6)%BDSO
\uput[dl](-2.5,0.2){A} \uput[dr](0.5,0.2){B} \uput[r](2.5,1){C}
\uput[ul](-0.5,1){D} \uput[d](0,0.6){O} \uput[u](0,4.2){S}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Questions enchaînées}

\medskip

On considère un triangle ABC tel que :

\begin{center}AB = 5,6 cm ; BC = 4,2 cm et AC = 7 cm.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Faire la figure sur une feuille séparée. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle ABC.
		\item Dans le triangle ABC, la hauteur issue de B coupe (AC) en H. 
		
Exprimer l'aire du triangle ABC en fonction de BH.
		\item Montrer que BH $= 3,36$ cm.
	\end{enumerate}	
\item Calculer HC.
\item Placer le point D symétrique de B par rapport à H. 

Tracer la droite qui passe par D et qui est perpendiculaire à (BD). 

Cette droite coupe (BC) en E.

Montrer que C est le milieu du segment [BE].
\item Placer le point K tel que HC = CK.

Quelle est la nature du quadrilatère BHEK ? Justifier la réponse.
\item Démontrer que DEKH est un rectangle.
\item On appelle $(C)$ le cercle circonscrit au quadrilatère DEKH.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer le cercle $(C)$.
		
On considère le cône de hauteur 5 cm ayant pour base le cercle $(C)$.
		\item Calculer le volume du cône au cm$^3$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}