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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1998}
\rfoot{\small  Nantes}
\lfoot{\small juin 1998}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $\sqrt{75}$ sous la forme $a \sqrt3$ où $a$ désigne un nombre entier.
\item Calculer $\left(\sqrt{3} - 1\right)^2$.

Mettre le résultat sous la forme $x + y\sqrt3$, où $x$ et $y$ désignent deux nombres entiers.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre l'inéquation : $5 - 2 x \geqslant 7$.


\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression : $E = (3 x - 1)^2 - 81$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur de $E$ lorsque $x = 0$.
\item Calculer la valeur de $E$ lorsque $x = 10$.
\item Factoriser $E$.
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Dans un établissement scolaire, les $\dfrac35$ des élèves sont des demi-pensionnaires, 30\,\% des élèves sont des internes et les $72$ élèves restants sont des externes.

Calculer le nombre d'élèves inscrits dans cet établissement.

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

À l'occasion de la fête des grand-mères, un enfant achète deux bouquets chez un fleuriste.

Le premier bouquet, composé d'une rose et de cinq marguerites, coûte 17 francs.

Le deuxième bouquet, composé de trois roses et de deux marguerites, coûte 25 francs.

Calculer le prix d'une rose et le prix d'une marguerite.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère un cercle de centre O et de rayon 2,4 cm.

%%%%%%% fig
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-3,-2.8)(3,3)
\pscircle(0,0){2.8}
\psline(2.8,0)(-2.8,0)(2.8;98)%BAE
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.8](0,0)
\uput[d](0,0){O} \uput[l](-2.8,0){A} \uput[r](2.8,0){B} \uput[ul](2.8;98){E}
\end{pspicture}
\end{center}

Soit [AB] un diamètre de ce cercle.

Soit E un point de ce cercle tel que AE $= 3,1$ cm.

On ne demande pas de reproduire la figure sur la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle AEB ? Justifier.
\item Calculer la mesure, arrondie au degré près de l’angle EAB.
\item Soit H le projeté orthogonal du point E sur la droite (AB).

Calculer la valeur arrondie au millimètre de EH.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit SAB un triangle isocèle en S.

Soit E le symétrique de A par rapport au point S.

Soit F le symétrique de B par rapport au point S.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Quelle est la nature du quadrilatère AFEB ? Justifier.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les points de la figure, citer sans justifications : un
vecteur égal à $\vect{\text{AF}}$ ;un vecteur égal à $\vect{\text{AS}}$.
		\item Recopier, en les complétant, les égalités suivantes :
$\vect{\text{AB}}+ \vect{\text{BS}} = \ldots$ ; \quad  $\vect{\text{AB}}+ \vect{\text{AF}} =\ldots$ 

On ne demande pas de justifications.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.63\linewidth}
Sur la figure ci-contre :
\begin{itemize}
\item les droites (MK) et (OD) sont parallèles ;
\item les points E, S, M et O sont alignés dans cet ordre ;
\item les points F, S, K et D sont alignés dans cet ordre.
\end{itemize}

On donne : 

SO = 6 cm ;  SD = 10 cm ;  SM = 4,8 cm ;  SE = 2 cm ;  SF = 3 cm.

On ne demande pas de reproduire la figure sur la copie.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.2,4)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,0.2)(0.9,0)(1.6,4)(4.2,3.2)%FEOD
\psline(1.48,3.4)(3.6,2.76)
\uput[ul](1.6,4){O} \uput[r](0.9,0){E} \uput[l](0.3,0.2){F} \uput[r](4.2,3.2){D}
\uput[l](1.48,3.4){M}\uput[r](3.6,2.76){K}\uput[dr](1.02,0.78){S}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Calculer SK.
\item Les droites (EF) et (OD) sont-elles parallèles ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner un carré ABCD dont les diagonales mesurent 4 cm.
Aucune justification n'est demandée.
\item Ce carré est la base d'une pyramide régulière SABCD telle que SA = 3 cm.

Compléter le dessin de la question afin d'obtenir un patron de cette pyramide.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Sur fa figure ci-contre, les dimensions ne sont pas respectées.

Soit REC un triangle rectangle en R tel que RE = 9 cm, RC = 12 cm. 

Soit H le pied de la hauteur issue du sommet R.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle REC.
\item Démontrer que EC = 15 cm.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.63\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(5.2,4.3)
\pspolygon(0.3,0.3)(0.3,3.5)(5,0.3)%REC
\psline(0.3,0.3)(1.7,2.58)%RH
\psframe(0.3,0.3)(0.5,0.5)
\rput{-128}(1.7,2.56){\psframe(0.2,0.2)}
\uput[dl](0.3,0.3){R} \uput[ul](0.3,3.5){E} \uput[dr](5,0.3){C} \uput[ur](1.7,2.6){H} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume]
\item Déduire des questions précédentes que l'on a RH $= 7,2$ cm.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On place un point M sur le côté [EC] du triangle REC et on note $x$ la distance EM, exprimée en cm ($0 < x < 15$).

Sur la figure ci-dessous, les dimensions ne sont pas respectées.

\medskip

\begin{minipage}{0.52\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ la longueur MC.
\item En remarquant que H est le pied de la hauteur issue de R dans  chacun des triangles REM et RMC :
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'aire du triangle RME, exprimée en cm$^2$, est $3,6x$.
		\item Montrer que l'aire du triangle RMC, exprimée en cm$^2$, est 
		
$54 - 3,6x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.46\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-0.8,0)(5.2,4.3)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,0.3)(0.3,3.5)(5,0.3)%REC
\psline(0.3,0.3)(1.7,2.58)(2.8,1.8)%RH
\psline(0.3,0.3)(2.8,1.8)%RM
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.4,3.6)(2.83,1.94)\rput(1.615,2.9){$x$}
\psframe(0.3,0.3)(0.5,0.5)
\rput{-128}(1.7,2.56){\psframe(0.2,0.2)}
\uput[dl](0.3,0.3){R} \uput[ul](0.3,3.5){E} \uput[dr](5,0.3){C} \uput[dl](1.7,2.68){H} 
\uput[r](2.8,1.8){M}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

Sur l'axe des abscisses, l'unité est le centimètre.

Sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente 10 unités.

On fera le dessin sur une feuille de papier millimétré, en prenant l'axe des abscisses parallèle au grand côté de la feuille.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la droite $d_1$ d'équation $y = 3,6 x$.
		\item Représenter la droite $d_2$ d'équation $y = 54 - 3,6 x$.
	\end{enumerate}		
\item Soit K le point d'intersection des droites $d_1$ et $d_2$.

En relation avec la deuxième partie, que représente l'abscisse du point K ? que représente son ordonnée ?
\item On veut trouver la valeur de $x$ pour laquelle l'aire du triangle RMC est égale à 36 cm$^2$.

Déterminer graphiquement cette valeur en faisant apparaître sur le graphique les constructions utiles.
\end{enumerate}
\end{document}