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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 1999}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1999}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Nantes juin 1999 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Prouver, par des calculs, que $A$ et $B$ sont deux écritures du même nombre $0,2$ lorsqu’on a :

\[A = \dfrac{11}{7} -\dfrac25 \times \dfrac{24}{7} \quad \text{et } \quad B =
\dfrac{3 \times 105 \times 6 \times 10^3}{2 \times 10^7 \times 4,5 \times 10^2}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau en appliquant le programme de calcul aux nombres indiqués. (On ne demande pas d'explications.)

\begin{center}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\textbf{Tableau}\smallskip

\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabular}{|p{4cm}|*{4}{c|}}\hline
Nombre choisi au départ	&$4$	&0 	&$\dfrac{7}{2}$	& $x$ \\ \hline
Résultat final			&	&	&				&\\ \hline
\end{tabular}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.42\linewidth}
\textbf{Programme de calcul}

\begin{tabular}{|m{5cm}|}\hline
Choisis un nombre.\\
Calcule son double.\\
Soustrais 1.\\
Calcule le carré du résultat obtenu.\\
Soustrais 36.\\
Note le résultat final.\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{center}

\item On considère l'expression : $R = (2x - 1)^2 - 36$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer l'expression $R$.
		
Quelle est la valeur de $R$ pour $x = 0$ ?
		\item Factoriser l'expression $R$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation : $(2x + 5) (2x - 7) = 0$.
\item Quels nombres peut-on choisir pour obtenir un résultat final nul lorsqu'on leur applique le programme de calcul de la question 1.? (Expliquer la réponse donnée.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On étudie l'évolution du nombre de visiteurs dans un parc d'attractions et de loisirs. 

Pour cela, on utilise le tableau et le graphique qui sont donnés ci-dessous.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

À l'aide du graphique, compléter le tableau, et à l'aide du tableau, compléter le graphique.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Année}				&1993			&1994		 &1995 	&1996\\ \hline
\textbf{Nombre de visiteurs}&\np{1900000}	&\np{2500000}&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-0.4)(4.25,3.2)
\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,3)}
\multido{\n=0.0+0.1}{32}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n,0)(4,\n)}
\multido{\n=0.0+0.5}{7}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n,0)(4,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5,Dx=10]{->}(0,0)(0,0)(4.25,3.2)
\psframe[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](2,0)(3,2.7)
\psframe[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](3,0)(4,2.8)
\rput{90}(-0.75,1.5){Nombre de visiteurs en millions}
\multido{\n=0.5+1.0,\na=3+1}{4}{\uput[d](\n,0){199\na}}
\uput[d](2.2,-0.25){Année}
\end{pspicture}
\end{center}
\item En 1997, le nombre de visiteurs a augmenté de 3,6\,\% par rapport au nombre de visiteurs de l'année 1996. Calculer le nombre de visiteurs en 1997.
\item En 1994, le nombre de visiteurs a augmenté par rapport au nombre de visiteurs en 1993. Exprimer cette augmentation en pourcentage du nombre de visiteurs en 1993 (on donnera l'arrondi à 1\,\% près).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que :

AB = 4,8 cm,  AC = 6,4 cm,  BC = 8 cm
\item Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
\item Construire le point D symétrique du point B par rapport au point A.
\item Calculer l'aire du triangle BCD.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
(C) est un cercle de centre O ;

B et D sont des points du cercle (C) ; 

[DE] est un diamètre du cercle (C) ;

ABOD est un losange.

Démontrer chacune des affirmations suivantes.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.40\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(3.2,2.4)
%\psgrid
\psline(2;195)(2;15)\uput[l](2;195){E}\uput[r](2;15){D}\uput[d](0,0){O}
\uput[u](2;60){B}
%\psarc(2;15){2}{60}{75}\psarc(2;60){2}{10}{40}
\psline(0;60)
\pscircle(0,0){2}
\psline(0;0)(2;60)(2.92,2.25)(2;15)
\uput[r](2.92,2.25){A}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Le triangle DBE est rectangle en B.
\item Les droites (OA) et (BD) sont perpendiculaires. 
\item Les droites (OA) et (EB) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit (O, I, J) un repère orthonormal.

Placer les points : A(1~;~2) B(2~;~5) C$(-2~;~3)$.
\item Démontrer que les points A et C appartiennent à la droite
d'équation : $y = - \dfrac13 x+ \dfrac73$.
\item Donner le coefficient directeur de la droite (AB). (On ne demande pas de justification.)
En déduire la nature du triangle ABC.
\item Placer le point D image du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{BA}}$.

Placer le point E image du point C par la translation de vecteur $\vect{\text{BA}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

On veut étudier différentes positions d'une chaise inclinable représentée sur le croquis ci-dessous.

\begin{center}\includegraphics[width=5cm]{chaise_longue_1}\end{center}

Dans tout le problème, on utilise les notations et les mesures données avec la figure ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(10,6)
%\psgrid
\psline(0,0)(10,0)
\psline(0,5.6)(9.1,0)
\psline(9.1,2.5)(0,0)%DOC
\psline(0.5,0.15)(3.1,3.7)%GE
\uput[ur](0,5.6){A} \uput[d](9.1,0){B} \uput[d](0,0){C} \uput[u](9.1,2.5){D}
\uput[ur](3.1,3.7){E} \uput[ul](0.5,0.15){G} \uput[u](6.3,1.73){O}

\end{pspicture}
\end{center}

OA $= 75$ cm, OB $= 35$ cm, OE $= 40$ cm,  OC $= 72$ cm, OD $= 28$ cm ;  Tige $t : 50$ cm

L’extrémité de la tige $t$ qui est représentée par le point E est fixe : OE $= 40$ cm dans tout le problème. 

L’autre extrémité de la tige $t$ occupe sur [OC] des positions différentes pour chaque question.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude de la position numéro 1}

Dans cette position, la tige $t$ est fixée en un point F du segment [OC] tel que :

\begin{itemize}
\item les droites (EF) et (AC) sont parallèles
\item EF $= 50$ cm
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(10,6)
%\psgrid
\psline(0,0)(10,0)
\psline(2,5.6)(9.1,0)%AB
\psline(2,5.6)(0,0)%AC
\psline(2.5,0.68)(3.8,4.2)%FE
\psline(9.1,2.5)(0,0)%DC
\uput[ur](2,5.6){A} \uput[d](9.1,0){B} \uput[d](0,0){C} \uput[u](9.1,2.5){D} \uput[ul](2.5,0.68){F} 
\uput[ur](3.8,4.2){E}  \uput[u](6.8,1.83){O}
\uput[ul](3,2.6){Tige $t$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer OF.
		\item Les droites (AC) et (BD) sont- elles parallèles ? 
		
		Justifier la réponse donnée.
	\end{enumerate}
	


\item \textbf{Étude de la position numéro 2}

Dans cette position, la tige $t$ est fixée en un point G du segment [OC] tel que :

\begin{itemize}
\item le triangle CEG est rectangle en E
\item EG $= 50$ cm
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer OG (arrondir à 1 cm près).
puis en déduire la mesure (arrondie à 1 degré près) de l'angle $\widehat{\text{EOD}}$.
		\item Calculer la mesure (arrondie à 1 degré près) de l'angle $\widehat{\text{EOG}}$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude de la position numéro 3}

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(10,6)
%\psgrid
\psline(0,0)(10,0)
\psline(0,5.6)(9.1,0)
\psline(9.1,2.5)(0,0)%DOC
\psline[linewidth=1.5pt](0.5,0.15)(2.8,3.88)%GE
\uput[ur](0,5.6){A} \uput[d](9.1,0){B} \uput[d](0,0){C} \uput[u](9.1,2.5){D} 
\uput[ur](2.8,3.88){E} \uput[ul](0.5,0.15){G} \uput[u](6.3,1.73){O}\rput{-122}(2.8,3.84){\psframe(0.25,0.25)} 
\uput[ul](1.8,1.9){Tige $t$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Dans cette position, la tige $t$ est fixée en un point H du segment [OC]
de sorte que l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ mesure $30\degres$.

Faire à l'échelle 1/10 une figure correspondant à cette position. Marquer le point H.
\end{enumerate}
\end{document}