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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small septembre 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $P$ et $Q$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
P(x)&=&(2x - 7)^2 - (5x - 4)^2\\
Q(x)&=&(x - 3)^2 + (4x - 12).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Réduire et ordonner $P(x)$ et $Q(x)$.
\item Factoriser $P(x)$ et $Q(x)$.
\item Calculer $P\left(\dfrac{11}{7}\right)$ et $Q(3)$.
\item On considère la fonction rationnelle $f$ définie par 
\[f(x) = \dfrac{P(x)}{(x - 3)(x + 1)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de la
fonction $f$.
		\item Pour tout $x$ élément de $\mathcal{D}_f$, exprimer $f(x)$ le plus
simplement possible.
		\item Calculer $f\left(\sqrt 2\right)$. Rendre rationnel le dénominateur.
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation: 
		\[f(x) = -11.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij{}les points A, B et C définis par

\[\vect{\text{OA}} = 5\vect{\imath} + 3 \vect{\jmath}\:;\quad \vect{\text{OB}} = \vect{\imath} + 7\vect{\jmath}\:;\quad \vect{\text{OC}} = -\vect{\imath} + 5 \vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les normes des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

Quelle est la nature du triangle (A, B, C) ?
\item Soit I le milieu du bipoint (A, C). Calculer les coordonnées du point I.
\item Déterminer les coordonnées du point D tel que I soit le milieu de [BD].
\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?
\item Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\item Soit E le symétrique de B dans la symétrie centrale de centre A.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite (AD) est médiatrice de [BE].
		\item Démontrer que les triangles (D, A, B) et (D, A, E) sont isométriques.
	\end{enumerate}
\item Calculer la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACB}}$. 

Déterminer, à un degré près par défaut, l'écart angulaire $\widehat{\text{ACB}}$. 

\end{enumerate}
\end{document}