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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1998}
\rfoot{\small Nantes}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes septembre 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne les trois nombres suivants: 

\[A = - \dfrac43 + \dfrac53 \times \dfrac27 ; \quad  B = \left(\dfrac13 - \dfrac25 \right) : \dfrac75 ;\quad C = \left(3 - 5\sqrt 7\right)\left(5 + 2\sqrt 7\right).\]

\begin{enumerate}
\item Calculer les nombres $A$ et $B$. Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
\item Calculer C. Le résultat sera donné sous la forme $a + b\sqrt 7$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers relatifs.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$D$ désigne l'expression algébrique suivante:

\[D = (4x +5)^2 - 7(4x+5).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Calculer $D$ pour $x = \dfrac12$.
\item Résoudre l'équation $(4x + 5)(4x - 2) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Lors d'une élection, $380$ personnes votent pour une liste A, B ou C.

La liste A obtient $15$\,\% des voix, la liste B obtient $209$ voix et le reste des voix va à la liste C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de voix obtenu par la liste A.
\item Calculer le pourcentage de voix obtenu par la liste B.
\item On veut représenter le résultat de l'élection par un diagramme semi-circulaire.
\item Compléter le tableau suivant après l'avoir reproduit. Justifier le calcul de chacun des trois angles.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Liste A&Liste B&Liste C&Total\\ \hline
Nombre de voix 			&		&209	&		&380\\ \hline
Pourcentage				&15\,\%	&		&		&\\ \hline 
Angle (en degrés)		&		&		&		
&180\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Construire le diagramme semi-circulaire correspondant (on choisira un rayon de 5 centimètres).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
Voici un dessin à main levée : 

Le point D est le milieu du segment [EF].

Le point C est le point d'intersection des segments [AE]
et [BD].

Les angles $\widehat{\text{ABC}}$ et $\widehat{\text{CDF}}$ sont des angles droits. 

AB $= 6$ cm ; BC $= 5$ cm ; CD $= 6$ cm.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{pspicture}(4.5,3.5)
\pslineByHand[varsteptol=0.5](2.1,1.6)(0.2,0.2)(2.1,0.2)(2.1,1.6)(4.2,3.2)(2.1,3.2)(2.1,1.6)(0.3,3.2)(2.1,3.2)%CABCEDCFD
\psframe(2.1,3.2)(1.9,3)\psframe(2.1,0.2)(1.9,0.4)
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](2.1,0.2){B} \uput[dr](2.1,1.6){C}
\uput[u](2.1,3.2){D} \uput[u](4.2,3.2){E} \uput[u](0.3,3.2){F}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réaliser un dessin en vraie grandeur.
\item Calculer AC (donner sa valeur exacte en centimètres).
\item Démontrer que les droites (AB) et (EF) sont parallèles. 

En déduire la mesure exacte (en centimètres) du segment [DE].
\item Démontrer que le triangle FCE est isocèle.
\item Calculer, en arrondissant au degré près, la valeur de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(5,3.8)
\pspolygon(0.2,0.6)(1.2,0.4)(1.2,1.4)(0.2,1.6)%OFEP
\pspolygon(0.2,1.6)(1.2,1.4)(2.2,1.6)(1.2,1.8)%PEDH
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.2,0.4)(2.2,0.6)(2.2,1.6)(1.2,1.4)%FGDE
\pspolygon(1.2,1.8)(2.2,1.6)(2.2,2.6)(1.2,2.8)%HDAI
\pspolygon(1.2,2.8)(2.2,2.6)(3.2,2.8)(2.2,3)%IABJ
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.2,1.6)(3.2,1.8)(3.2,2.8)(2.2,2.6)%DCBA
\pspolygon(2.2,0.6)(3.2,0.4)(3.2,1.4)(2.2,1.6)%GMLD
\pspolygon(3.2,0.4)(4.2,0.6)(4.2,1.6)(3.2,1.4)%MNKL
\pspolygon(2.2,1.6)(3.2,1.4)(4.2,1.6)(3.2,1.8)%DLKC
\uput[u](2.2,2.6){A} \uput[ur](3.2,2.8){B} \uput[ur](3.2,1.8){C}
\uput[dr](2.2,1.6){D} \uput[u](1.2,1.4){E} \uput[d](1.2,0.4){F}
\uput[d](2.2,0.6){G} \uput[ul](1.2,1.8){H} \uput[u](1.2,2.8){I} \uput[u](2.2,3){J} 
\uput[u](4.2,1.6){K} \uput[u](3.2,1.4){L} \uput[d](3.2,0.4){M} \uput[d](4.2,0.6){N} 
\uput[dl](0.2,0.6){O} \uput[ul](0.2,1.6){P}
\psarc{<-}(3.5,2.3){0.5}{-40}{40}
\end{pspicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
La figure est composée de neuf losanges superposables.

Répondre aux questions suivantes sans donner de justification.
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image du losange IJBA par la translation de vecteur $\vect{\text{JC}}$ ?
		\item Quelle est l'image du losange DCKL par la rotation, dans le sens de la flèche, de centre D et d'angle 120 degrés ?
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter les phrases suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item Le losange DGFE est l'image du losange ABCD par la \ldots \ldots de vecteur \ldots .
		\item Le \ldots \ldots du losange ABCD par rapport à \ldots \ldots est le losange DEPH.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

On faut le plein d'essence dans le réservoir d'une première voiture. 

Le graphique représente le volume d'essence (en litres) qui reste dans le réservoir en fonction de la distance parcourue (en kilomètres) par la voiture.

\begin{center}
\psset{xunit=0.01cm,yunit=0.1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(700,60)
\multido{\n=0+50}{15}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,60)}
\multido{\n=0+5}{13}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(700,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(700,60)
\uput[u](550,0){distance en km}
\uput[r](0,58){volume en litres}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,50)(500,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Répondre aux questions a., b. et c. ci-dessous en utilisant uniquement le graphique.

On n'effectuera aucun calcul, et les réponses données seront des nombres entiers.
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Distance parcourue (en kilomètres) : $x$&100&\\ \hline
Volume d'essence qui reste (en litres) : $y$&&20\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Quel volume d'essence contient le réservoir au départ ?
		\item Quelle distance a parcouru la voiture lorsque le réservoir ne contient plus que 10 litres d'essence?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans un repère orthogonal, placer les points A(0~;~50) et B(500~;~0) puis tracer le segment [AB].
		
On prendra :
\begin{itemize}
\item $2$ centimètres sur l'axe des abscisses pour représenter $100$ unités.
\item $2$ centimètres sur l'axe des ordonnées pour représenter $10$ unités.
 \end{itemize}
		\item Démontrer que l'équation de la droite (AB) est: $y = - 0,05x + 50$.
		\end{enumerate}
\item On considère maintenant une seconde voiture pour laquelle le
volume d'essence $y$ (en litres) restant dans le réservoir s'exprime en
fonction de la distance parcourue $x$ (en kilomètres) par la formule : $y = - 0,05x + 30$.

Tracer dans le même repère que précédemment, la droite $(d)$ d'équation : 

$y = - 0,05x + 30$.
\end{enumerate}
\end{document}