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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Nice}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nice juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ et $g$ les applications de $\R$ dans $\R$ définie par
\[\begin{array}{l l c l}
f :&x &\mapsto&f(x) = 3x- 1,\\
g :&x&\mapsto&g(x) = \phantom{3}x + 4.
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $(g \circ f)(x)$.
		\item Construire les droites $(D)$ et $\left(D'\right)$, représentation
graphiques des fonctions $f$ et $g$.
		\item  Calculer les coordonnées du point d'intersection de $(D)$ et $\left(D'\right)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $A$ la fonction polynôme de $\R$ dans $\R$ définie par
\[\begin{array}{l l c l}
A :&x& \mapsto&A(x) =(3x -1)^2 - 9x^2+ 1 - (x - 5)(3x - 1).
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Réduire et ordonner $A(x)$.
		\item Factoriser $A(x)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction rationnelle définie par

\[F : x  \mapsto  F(x) = \dfrac{A(x)}{(x + 4)(3 - x)}.\]

Déterminer l'ensemble de définition $E$ de $F$ et simplifier l'écriture de $F(x)$ pour tout $x$ de l'ensemble $E$.
\item Soit $G$ la fonction rationnelle définie par
 \[G : x \mapsto G(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 4}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $G(x) = 1$.
		\item À l'aide du \textbf{1.} retrouver graphiquement le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans l'ensemble des vecteurs du plan, on considère une base 
$\left(\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$ et les vecteurs
\[\vect{u} = \dfrac{15}{2}\vect{\imath} + \dfrac{15}{2}\vect{\jmath},\quad  \vect{v} = \dfrac{5}{3}\vect{\imath} + \dfrac{35}{3}\vect{\jmath},\quad \vect{w} = x\vect{\imath} + y\vect{\jmath}.\]

Calculer les réels $x$ et $y$ pour que $\vect{w} = \dfrac23\vect{u} - \dfrac35\vect{v}$.
\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère du plan, orthonormé \Oij{} on donne les points A, B et C dont les coordonnées sont 
\begin{center}A$(- 3~;~5)$,\qquad B$(-5~;~1)$ \quad et \quad C(5~;~1).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées (ou composantes) des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$.

Calculer les distances $d$(A, B), $d$(A, C) et $d$(B, C).

En déduire la nature du triangle (A, B, C).
\item Déterminer les coordonnées du milieu, M. du bipoint (A, C).
\item On désigne par D l'image de B dans la translation de vecteur $\vect{t}$ dont les coordonnées dans la base $\left(\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$ sont $(4~;~- 2)$.

Calculer les coordonnées de D et de son symétrique E par rapport à M.
\item Montrer que le quadruplet (A, E, C, D) est un carré.
\item On désigne par $(\mathcal{C})$ le cercle circonscrit à ce carré, préciser la position de la droite (AB) par rapport à $(\mathcal{C})$.
\item Déterminer le sinus, le cosinus et la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}