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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nice juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On donne les expressions suivantes:
\[\begin{array}{l c l}
A &=& a^2 + b^2 + 2ab - 1,\\
B &=& 2ab - a^2 - b^2 + 1\:\text{et}\\
C&=& 4a^2 b^2 - \left(a^2 + b^2 - 1\right)
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Mettre chacune de ces trois expressions sous la

forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item On pose $a = 2x$ et $b = y$ ;  vérifier que l'on a 

$C= (2x+ y+ 1)(2x + y - 1) \times (y - 2x+1)(- y + 2x + 1)$.

Exprimer, en fonction de $x$, les valeurs de $y$ telles
que $C = 0$.
\item Dans les conditions de la question précédente, construire, dans un repère orthonormé, le centimètre étant pris pour unité, les quatre droites, représentations graphiques des expressions de $y$ fonction de $x$ telles que $C = 0$.
\item Ces quatre droites se coupent en E, F{}, G et H.

Quelle est la nature du quadrilatère EFGH ?

Calculer son aire en centimètres carrés.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un triangle ABC, rectangle en A, tel que BA $= 80$~mm, et le cercle 
$\left(C_1\right)$ de rayon $50$~mm, circonscrit à ce triangle.

On mène par C la tangente à ce cercle $\left(C_1\right)$ qui coupe (BA) en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AC, AD et CD.
\item Soit T le symétrique de A par rapport à CD.

Démontrer que le quadrilatère CADT est inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre et dont on calculera le rayon.

On appellera $\left(C_2\right)$ ce cercle.
\item Soit I l'intersection de (AT) et de (CD).

Démontrer que les triangles AIC et DTC sont semblables.

Calculer IC et IT.
\item DT coupe le prolongement de [BC] en E.

Quelle est la puissance du point E par rapport au cercle $\left(C_2\right)$ ?
\end{enumerate}
\end{document}