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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Nice}
\lfoot{\small juin 1967}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nice juin 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Exercice I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\sqrt{35}$ à $0,01$ près par défaut.
\item Utiliser le résultat pour calculer à $0,01$ près par défaut le nombre
\[\dfrac{\sqrt 7 - \sqrt 5}{\sqrt 7 + \sqrt 5}.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

Sans aucun calcul trouver deux racines de l'équation
\[\left(\sqrt 5 - x\right) (3 + x) = \left(\sqrt 5 - 7\right) (3 + x).\]

Justifier le résultat.

\medskip

\textbf{Exercice III}

\medskip

Mettre sous la forme la plus simple possible le produit 

\[\left[\dfrac{1}{x^3} - \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{x}\right] \cdot\left[\dfrac{x^3 + x^2}{ (1 - x)^2}\right].\]

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un carré ABCD inscrit dans un cercle de centre O et de rayon $R$.

On désigne par M un point variable sur l'arc $\wideparen{\text{ADC}}$ et par P le point d'intersection de (MB) et (AC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AMC}}$ ?
		\item Comparer les triangles AMP et BMC.

Écrire les relations entre leurs côtés.
		\item Pour quelle position de M sur l'arc $\wideparen{\text{ADC}}$ ces triangles sont-ils égaux ? 

On désigne par N cette position.
	\end{enumerate}
\item Quand M est en N le point P a une position P$'$ (faire une deuxième figure).
	\begin{enumerate}
		\item Quels sont les côtés respectivement égaux dans les triangles égaux ANP$'$ et BNC ?
		\item Quelles sont les mesures des angles du triangle P$'$NC?
		\item Calculer en fonction de R les segments P$'$C et P$'$B.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}