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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nice juin 1968~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser le polynôme $x^2 - 3x$.
\item Factoriser le polynôme $x^2 - 5x + 6$, en remarquant
qu'il est égal à $x^2- 3x- 2x + 6$.
\item Factoriser le polynôme $x^3 - 4x^2 + x + 6$ 
en remarquant qu'il est égal à 

$x^3 - 5x^2 + 6x + x^2 - 5x + 6$.
\item Résoudre l'équation 
\[x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire le plus simplement possible la fraction rationnelle suivante, $A(x)$, en précisant le domaine de validité du calcul :
\[A(x) = \dfrac{1}{2 + \dfrac{2x}{\dfrac12 - x}}.\]

\item Résoudre l'équation en $x$ suivante:

\[A(x) = \dfrac{1}{A(x)}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC quelconque et le cercle $(\Gamma)$ circonscrit à ce triangle.

Une demi-droite d'origine A intérieure à l'angle $\widehat{\text{BAC}}$
rencontre le cercle $(\Gamma)$ en D.

La symétrique de cette demi-droite par rapport à la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ rencontre le segment [BC] en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les angles $\widehat{\text{BAD}}$ et $\widehat{\text{CAE}}$.
\item Comparer les triangles BAD et CAE.
\item Montrer que l'on a
\begin{center}AB $\cdot $ AC = AD  $\cdot $ AE.\end{center}
\item La bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ rencontre le cercle $(\Gamma)$ en K et le côté [BC] en I.

Montrer que l'on a .
\begin{center} AB $\cdot $ AC = AI $\cdot$ AK.\end{center}
\item On désigne par H la projection orthogonale de A sur (BC) et par A$'$ le point diamétralement opposé à A sur le cercle $(\Gamma)$.

En utilisant les questions 2. et 3., montrer que l'on a

\begin{center} AB $\cdot $ AC = AH $\times 2R$ \end{center}
où $R$ est la mesure du rayon du cercle $(\Gamma)$.
\end{enumerate}
\end{document}