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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Nice}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nice juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Sur un axe, d'origine O, une unité de longueur étant choisie, on considère le point A d'abscisse $4$, le point M d'abscisse $x$ et le point N d'abscisse $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ le rapport $\dfrac{\overline{\text{AM}}}{\overline{\text{AN}}}$, ainsi que l'abscisse du milieu, I, de [MN].
\item Déterminer $x$ et $y$ de telle manière que, simultanément $\dfrac{\overline{\text{AM}}}{\overline{\text{AN}}} = - \dfrac12$
et l'abscisse du point  I soit égale à 5.

Pour cela, on montrera qu'on est conduit au système suivant :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{2}x + y &=& 10,\\
2x + y&=& 12.
\end{array}\right.\]

Résoudre ce système.

\item M étant le point d'abscisse + 2 et N le point d'abscisse + 8, déterminer par son abscisse le point B
 de l'axe tel que $\dfrac{\overline{\text{BM}}}{\overline{\text{BN}}} = \dfrac12$.
 
Vérifier ensuite les relations 
\begin{center}$4\text{OI}^2 = \text{AB}^2 + \text{MN}^2$\qquad et \qquad $\text{IM}^2 = \text{IN}^2 = \overline{\text{IA}} \cdot \overline{\text{IB}}$\end{center}.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Dessiner un triangle ABC rectangle en A et tel que BC $= 2$AC.

Soit M le milieu de [BC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le cercle de centre A et de rayon AM passe par C.

On pose, pour la suite, AM $ = R$.
\item Ce cercle recoupe la droite (AC) en E et EM coupe (AB) en D.

Comparer les triangles ABC et AED.

En déduire la relation AB $\cdot$ AD $= R^2$.
\item On considère le cercle circonscrit au triangle BDM ; préciser son centre.

Montrer que la puissance du point A par rapport à ce cercle est égale à $R^2$.

Quelle conséquence peut-on en déduire pour la position de la droite (AM) par rapport au cercle circonscrit au triangle BDM ?
\end{enumerate}
\end{document}