\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P{}.C.},
pdftitle = {juin 1971},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nice}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Nice~\decofourright\\[6pt] juin 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer le produit $P = (5x - 1)(x + 3)$.

Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles
 
\[5x^2 + 14x - 3 = 0.\]

\item Domaine de définition de la fraction rationnelle

\[F_1(x) = \dfrac{5x^2 + 14x - 3}{2\left(x^2 + 6x + 9\right)}.\]

Simplifier cette fraction ; peut-on déterminer $x$ pour que la fraction simplifiée soit égale à 1,  à $\dfrac{5}{2}$ ?
\item On donne la fraction $F_2(x) = \dfrac{5x-1}{2(x + 3)}$.

Déterminer les  valeurs de $F_2(x)$ si on donne à $x$ les valeurs $\dfrac{1}{4}$ ; $\dfrac{1}{5}$ ; $\sqrt{3}$.
\item Pour quelles valeurs de $x$ le numérateur et le dénominateur de $F_2(x)$ sont-ils de signe contraire ?

Quel est alors le  signe de $F_2$ ?
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

Un triangle équilatéral ABC a pour côté $a$. À l'intérieur d'un segment [AB], on place P tel que $\dfrac{\text{PA}}{\text{PB}} = 2$, et, à l'extérieur de ce même segment, on place P$'$ tel que $\dfrac{\text{P}'\text{A}}{\text{P}'\text{B}} = 2$.

Par P et P$'$ on mène les parallèles à (BC) qui coupent (AC)
respectivement en Q et Q$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer PA, PB, P$'$A, P$'$B en fonction de $a$.
\item Donner en fonction de $a$ le périmètre du trapèze PQQ$'$P$'$ : donner aussi son aire.
\item Montrer que les quatre points PQQ$'$P$'$ sont sur un même cercle de centre O.

 Donner en fonction de $a$ la puissance de A
par rapport à ce cercle.
\item Soit K le milieu de [PP$']$; calculer en fonction de $a$ 
la longueur des côtés du triangle AKO.
\end{enumerate}
\end{document}