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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nice juin 1972~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On donne
\[\begin{array}{l c l}
P_1(x)&=&2x^2 - 6x + 4(x - 3)\:\:\text{et}\\
P_2(x)&=& 2x(x - 3) + x^2 - 9.
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $P_1(x)$ et $P_2(x)$.
		\item Calculer $S(x) = P_1(x) + P_2(x)$, d'abord sous forme d'un polynôme ordonné suivant les puissances décroissantes de $x$, ensuite en se servant des factorisations de $P_1(x)$ et de $P_2(x)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Trouver les valeurs de $x$ qui annulent 
		\[S(x) = P_1(X) + P_2(x).\]
		\item Calculer $S(x) = P_1(X) + P_2(x)$ pour $x = 2 \sqrt 2$.


		\item Soit la fonction $f$ qui à $x$ associe $f(x) = \dfrac{2(x + 2)}{3(x + 1)}$.

 Quel est le domaine de définition de $f$ ? 

 A-t-on toujours, quel que soit $x, \:f(x)= \dfrac{P_1(x)}{P_2(x)}$ ?

Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $f(x) = - 1$ ?

Comparer le résultat trouvé à celui obtenu au paragraphe a. de la question 2.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un demi-cercle de diamètre [AB], de centre O et de rayon $R$.

On prend sur le même demi-cercle les points C et D tels que la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAD}}$ soit $45\degres$ et que la mesure de l'arc $\wideparen{\text{CB}}$ soit $30\degres$.

La droite (AC) coupe (BD) en H et (AD) coupe (BC) en M.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Que représente H pour le triangle (MAB) ?

En déduire que (MH) est perpendiculaire à (AB).

Montrer que les triangles (BOD) et (BAD) sont semblables et que le triangle (DMH) est semblable aux précédents.
\item Indiquer la mesure en degrés des angles du triangle (BMD) ; calculer, en fonction de $R$, la mesure de ses côtés.
\item Soit I le point d'intersection de (OD) et de la médiatrice de [MB].

On prolonge [MI]au-delà de I d'une longueur IN = IM.

Montrer que IA = IB = IM = IN et que le cercle de centre I et de rayon [IM] passe par A, par N et par B.

En déduire que (NA) est parallèle à (BD) et que (NB) est parallèle à (AC).

Montrer que (NAHB) est un parallélogramme et que les trois points N, 0 et H sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}