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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nice juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Exercice I}

\medskip

Soit les fonctions affines $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ telles que 

\[\begin{array}{l c l}
f : x&\longmapsto&f(x) = 2x-3,\\
g : x&\longmapsto&g(x) =  5x - 6.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer
\[\begin{array}{l c l}
s(x) &=&f(x) +g(x),\\
t(x) &=&f(x) \times g(x),\\
v(x) &=& (g \circ f)(x).
\end{array}\]
\item On pose $u(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Soit $s, t, u$ et $v$ les fonctions qui à $x$ associent respectivement
$s(x), t(x), u(x)$ et $v(x)$.

Une de ces fonctions n'est pas une application. Laquelle ?

Donner son domaine de définition.
\item Résoudre dans $\Q$ l'équation $t(x) = 0$.

Résoudre dans $\N$ l'inéquation $s(x) < 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

Calculer $\left(5 - 3\sqrt 3\right)^2.$

Déterminer le plus grand des deux réels $5$ ou $3\sqrt 3$.

En déduire l'écriture, au moyen d'un seul radical, de
\[\sqrt{52 - 30\sqrt 3}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice III}

\medskip

Dans un plan euclidien $(P)$ rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on considère les points A, B et C tels que

\begin{center}$\vect{\text{OA}} =2\vect{\imath} + 2\vect{\jmath},\quad \vect{\text{OB}} = -2\vect{\imath} -\vect{\jmath}$ \quad et \quad $\vect{\text{OA}} = 5\vect{\imath} - 2\vect{\jmath}$.\end{center}.

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points A, B et C.
\item Calculer $d$(A, B), $d$(A, C) et $d$(B, C).

En déduire que le triangle (A, B, C) est un triangle rectangle isocèle.
\item Si $\alpha$ est l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABC}}$, donner $\alpha$ en degrés et en déduire $\cos \alpha$, $\sin \alpha$ et $\tan \alpha$.
\item M est le milieu du bipoint (B, C).

Calculer les coordonnées de M ainsi que $d$(A, M).

Quelle est la médiatrice de [BC] ? Justifier la réponse.
\item P étant le milieu du bipoint (A, M) et $\beta$ l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{PBM}}$, calculer $\tan \beta$.

Si $\gamma$ est l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{PCB}}$
donner $\tan  \gamma$.
\end{enumerate}
\end{document}