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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nice juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip

Calculer :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $\left(\sqrt 7 +  2\sqrt 5\right)^2$ ; puis
\item[$\bullet~~$] $\left(\sqrt 7 -  2\sqrt 5\right)^2$ ; et
\item[$\bullet~~$] $\left(\sqrt 7 +  2\sqrt 5\right)\left(\sqrt 7 -  2\sqrt 5\right)$.

En déduire que $\dfrac{\sqrt 7 +  2\sqrt 5}{\sqrt 7 -  2\sqrt 5} + \dfrac{\sqrt 7 -  2\sqrt 5}{\sqrt 7 +  2\sqrt 5}$ 
est un nombre rationnel.
\end{itemize}

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, on donne les trois points A, B, C, par leurs coordonnées :
\begin{center}A(3~;~1),\quad B(1~;~2),\quad  C(5~;~5).\end{center}.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ en fonction des vecteurs de base $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$.
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$  sont orthogonaux.
\item Trouver l'équation de la droite (AB).
\item Quelles sont les coordonnées du milieu I du segment [BC] et du point E symétrique de A par rapport à I.

Quelle est la nature du quadruplet (A, B, E, C).

Calculer $d$(B, C).
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité étant le centimètre, on considère dans le plan le triangle (O, C, D) tel que \begin{center}$d$(O, C) =1,5, \qquad  d(C, D) = 2,5 \quad et \quad $d$(O, D)= 2.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le triangle (O, C, D) est-il rectangle ?

Justifier la réponse.
\item Dessiner le triangle.

$\alpha$ est l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{OCD}}$ ;  calculer $\cos \alpha$, \: $\sin \alpha$ et $\tan \alpha$.

En déduire au moyen des tables trigonométriques en degrés que $53 < \alpha < 54$.

$\beta$ est l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ODC}}$.

Expliquer pourquoi $36 < \beta < 37$.
\end{enumerate}
\end{document}