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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Nice}
\lfoot{\small juin 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nice juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère dans le plan euclidien (P) muni d'un repère orthonormé \Oij{}
les points A et B donnés par leurs coordonnées:
\begin{center}A$(-1~;~2)$ \qquad et \qquad B$(1~;~-2)$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que B est symétrique de A par rapport au point O.
\item Ecrire l'équation de la droite (AB).
\item Trouver l'équation de la droite ($\Delta$) passant par A et orthogonale à la droite (AB).

Vérifier que le point C de coordonnées (7~;~6) est élément de ($\Delta$).
\item Calculer $d$(A, B) ; $d$(A, C) ; $d$(B, C).
\item $\alpha$ est l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACB}}$, calculer $\cos \alpha$, \: $\sin \alpha$ et $\tan \alpha$.

L'unité étant le degré, donner $\alpha$ à 1 près par défaut.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij,  placer les points
donnés par leurs coordonnées
\begin{center}A (2~;~1) ;\quad B(3~;~5) ; \quad C (7~;~4) ; \quad D$\left(\dfrac{13}{6}~;~3\right)$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées (ou les composantes) des vecteurs $\vect{\text{AB}},\:\vect{\text{AC}},\:\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{CD}}$.
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$et $\vect{\text{BC}}$ sont orthogonaux.

Montrer que les vecteurs $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{CD}}$ sont colinéaires (même direction).
\item Vérifier au moyen des composantes trouvées que: 
\[\vect{\text{AC}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{BC}}.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$x$ et $y$ sont deux nombres réels ; on considère l'ensemble $S$ des couples $(x~;~y)$ de $\R \times \R$ tels que:
\[3x + 2y  7.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Si $x = - \dfrac53$ quelle valeur faut-il donner à $y$ pour que le couple $\left(- \dfrac53~;~y\right)$ appartienne à $S$ ?
\item On donne ensuite $y =2 - \sqrt 3$ ; quelle valeur faut-il donner à $x$ pour que le couple $\left(x~;~2 - \sqrt 3\right)$ appartienne à $S$ ?
\item Soit $E$ l'ensemble des couples suivants :

\[E = \left\{\left(\dfrac56~;~\dfrac94\right)~;~(0~;~3)~;~\left(\dfrac92~;~0\right)~;~\left(\sqrt 3 - 1~;~\dfrac{10 - 3\sqrt 3}{2}\right)\right\}.\]

Déterminer les éléments de $E$ qui sont éléments de $S$.
\end{enumerate}


\end{document}