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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1984}
\rfoot{\small Nice}
\lfoot{\small juin 1984}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nice juin 1984 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f(x) = (3x - 2)(3x - 9) - \left(9x^2 - 4\right) + (3x - 2)(15 - x).\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $f(x)$.
		\item Factoriser $f(x)$.
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation : $f(x) = - 8$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $f(1),\: f\left(\dfrac{11}{3}\right), \:f\left(\sqrt 3\right)$.

L'application $f$ est-elle bijective ?
\item Résoudre, dans $\R$, l'inéquation 

\[- 3x^2 + 14x - 8 \leqslant - x(3x - 16).\]

\item Soit $g$ et $h$ les applications de $\R$ dans $\R$ définies par 

\[g(x) = 3x - 2, \qquad  h(x) = 4 - x.\]

On appelle $D$ et $\Delta$ les représentations graphiques respectives de $g$ et $h$ dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij.

L'unité choisie est le centimètre
	\begin{enumerate}
		\item Construire $D$ et $\Delta$. On calculera les coordonnées des points d'intersection de $D$ et $\Delta$ avec l'axe des abscisses.
		
Calculer les coordonnées du point d'intersection I de $D$ et $\Delta$.
		\item Montrer que pour tout réel $x$ on a : $f(x) = g(x) \cdot h(x)$.
		
Résoudre dans $\R$, l'équation : $f(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on considère les points A, B, C de coordonnées respectives

\begin{center}A$(- 3~;~-2)$, \qquad B$(-4~;~2)$,\qquad  C(5~;~0).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer ces points.

Calculer $d$(A, B),\: $d$(A, C),\: $d$(B, C).

En déduire la nature du triangle (A, B, C).
\item Soit I le milieu de [BC]. Déterminer ses coordonnées.
\item On mène par I la parallèle $(\Delta)$ à (AB).

Démontrer que $(\Delta)$ coupe (AC) en J. 

Préciser la position de ce point.

Calculer $\sin \widehat{\text{JIC}}$ et déduire la valeur à un degré près par défaut de la mesure de cet angle.

On prendra pour valeur approchée de $\sqrt 5$ : $2,236$.
\item Soit G$\left(- \dfrac23~;~0\right)$. 

Quelle relation existe-t-il entre les vecteurs $\vect{\text{AG}}$ et $\vect{\text{AI}}$ ? 

Que peut-on conclure pour les points A,\: G,\: I ?
\item La parallèle à (IJ) passant par G coupe (AC) en K.

Calculer $\dfrac{\overline{\text{AK}}}{\overline{\text{AJ}}}$.
\end{enumerate}
\end{document}