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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Nice}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nice juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer : $\dfrac35 - \dfrac23$.

Comparer :

\begin{enumerate}
\item $\dfrac35$ et $\dfrac23$.
\item $- 2 \times \dfrac35$ et $- 2 \times \dfrac23$
\item $- \dfrac65 + 7$ et $-\dfrac43 + 7$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Montrer que $\np{15876} = 2^2 \times 3^4 \times 7^2$.

Quelle est la décomposition en produit de facteurs
premiers de $\sqrt{\np{15876}}$.

Calculer $\sqrt{\np{15876}}$ et en déduire $\sqrt{\np{158,76}}$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Développer $\left(3\sqrt 2 + 5\right)\left(3\sqrt 2 - 5\right)$. 

En déduire une écriture simplifiée du nombre $\dfrac{- 7\sqrt 2}{3\sqrt 2 + 5}$.

Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$, donner un encadrement à $10^{-2}$ près du nombre $6 - 5\sqrt 2$.

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\emph{L'unité est le centimètre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle OAB rectangle en O tel que OA $= 6$ et OB $= 4,5$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle OAB.
		\item Calculer AB (on donne $75^2 = \np{5625}$).
	\end{enumerate}	
\item Placer le point D du segment [OA] tel que OD $= 2$DA en justifiant la façon de procéder.

Par le point D tracer la parallèle à la droite (AB) ; elle coupe le segment [OB] en E.

Calculer OE.
\item Sur les segments [OA] et [OB] placer respectivement les points I et J tels que 

OI = OJ = 1.

Sur la droite (OA) munie du repère (O, I), on appelle M le point d'abscisse $(- 2)$.

Sur la droite (OB) munie du repère (O, J), on appelle N le point d'abscisse $(- 1,5)$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points M et N.
		\item Calculer $\dfrac{\overline{\text{OM}}}{\overline{\text{OA}}}$ et $\dfrac{\overline{\text{ON}}}{\overline{\text{OB}}}$.
		\item Démontrer que les droites (MN) et (AB) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} placer les points 

\begin{center}A$\left(-\dfrac32~;~4\right)$, \qquad  B$\left(\dfrac72~;~\dfrac32 \right)$\qquad C$\left(- \dfrac{13}{2}~;~-6\right)$ \end{center}

et construire la droite $(\Delta)$ d'équation $y = - \dfrac43 x + 2$.
\item Calculer AB, AC, BC et démontrer que le
triangle ABC est rectangle.
\item Démontrer que A est un point de $(\Delta)$.
\item Démontrer que $(\Delta)$ est perpendiculaire à la droite (BC).

Que représente la droite $(\Delta)$ pour le triangle ABC.
\item Soit H le point d'intersection des droites $(\Delta)$ et
(BC) ;
	\begin{enumerate}
		\item déterminer une équation de la droite (BC) ;
		\item calculer les coordonnées du point H.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}