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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Nice}}
\rfoot{\small{v 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nice septembre 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en produit de facteurs chacune des expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (8x - 6)(1 - 2x) -+(6x - 3)(4 - 2x),\\
B(x) &=& (10x - 6)^2 - (4x - 3)^2.
\end{array}\]

Résoudre les équations en $x$ suivantes 
\[A(x) = 0\qquad ;\qquad B(x) = 0.\]

\item On considère la fraction $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Pour quelles valeurs de $x$ n'est-elle pas définie ?

Simplifier cette fraction.
\item Résoudre l'équation en $x$ suivante : $F(x) = 1$.
\item Résoudre l'inéquation en x suivante: $F(x) \leqslant 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit ABC un triangle quelconque.

La bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ coupe le côté [BC] en I.

La parallèle menée par C à la droite (AI) coupe la droite (AB) en E.

En utilisant cette figure, démontrer que
I\[\dfrac{\text{IB}}{\text{IC}} =  \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}.\]

\item En désignant par $a$ la longueur du côté [BC], par $b$ celle du côté [CA], par $c$ celle du côté [AB], déduire de la relation précédente les formules
\begin{center} IB $= \dfrac{ac}{b + c}$\qquad et \qquad IC $= \dfrac{ab}{b + c}$.\end{center}

\item On considère le cas particulier d'un triangle rectangle dont B est le sommet de l'angle droit et tel que AB $= c = 1$.

La mesure de l'angle aigu $\widehat{\text{BAC}}$ est désignée par $x$.

La bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ coupe le côté [BC] en I.

Quels sont les segments de la figure qui ont respectivement pour longueur $\tan x$ et $\tan \dfrac x2$ ?

En utilisant l'expression de IB de la question 2., exprimer $\tan \dfrac x2$ à l'aide de $\tan x$.
\item Calculer le nombre $\tan 15\degres$.

Contrôler le résultat numérique en utilisant une table de rapports trigonométriques.
\end{enumerate}
\end{document}