\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Nice septembre 1970},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nice}}
\rfoot{\small{septembre 1970}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nice septembre 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit l'expression 
\[E(x~;~y) = \left(\dfrac74 x+ \dfrac12 y - 7\right)^2 - \left(-\dfrac14 x+ \dfrac32 y - 2\right)^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $E(0~;~y)$, obtenue en remplaçant $x$ par $0$ dans l'expression précédente.
\item Décomposer $E(0~;~y)$ en un produit de deux facteurs du premier degré.

Pour quelles valeurs de $y$ a-t-on $E(0~;~y) = 0$ ?
\item Dans le cas général, décomposer $E(x~;~y)$ en un produit de deux facteurs du premier degré.
\item Résoudre le système 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac32 x + 2y - 9&=&0,\\
2x - y  - 5 &=&0
\end{array}\right.\]

\item Dans un repère orthonormé $x\text{O}y$, on considère la droite $\left(D_1\right)$ représentant la fonction définie par
\[y = -\dfrac34 x + \dfrac92\]
et la droite $\left(D_2\right)$ représentant la fonction définie par 
\[y = 2x - 5.\]

Donner les coordonnées du point A, intersection de $\left(D_1\right)$ et de ($\left(D_2\right)$.

Soit G l'intersection de $\left(D_1\right)$ avec O$y$ et F l'intersection de $\left(D_1\right)$ avec O$x$.

Calculer $\dfrac{\overline{\text{FA}}}{\overline{\text{FG}}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Un segment [AB] a une longueur de $18$~cm ; le point O divise intérieurement le segment [AB] dans le rapport
$\dfrac{\text{OA}}{\text{OB}}= 2,6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des segments [OA] et [OB].
\item On trace le cercle (O), de centre O et de rayon $r = 5$~cm.

Les points C et C$'$ sont deux points du cercle (O) tels que AC = AC$' =  12$~cm.

Vérifier que les triangles OAC et OAC$'$ sont rectangles.

Quelle est la puissance de A par rapport au cercle (O) ?
\item (CC$'$) coupe (AB) en H ; calculer CC$'$ et OH.

Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ el la tangente de l'angle $\widehat{\text{CAB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}