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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nice septembre 1972~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On donne les expressions
\begin{center}$A(x) = \dfrac{1 + x}{1 - x}$\qquad et \qquad $B(x) = \dfrac{2x}{1 + x}$\end{center} 

où $x$ désigne un nombre réel.


\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(x) = A(x) \times B(x)$ et $S(x) = A(x) + B(x)$.

Trouver les valeurs numériques de $A(x), B(x), P(x)$ et $S(x)$ si
$x = \sqrt 2$.
\item Pour quelle valeur de $x$ l'égalité $A(x) \times B(x) = 1$
est-elle vraie ?
\item Pour quelles valeurs de $x$ l'égalité $A(x) - B(x) = - \dfrac72$
est-elle vraie ?
\item Soit la fonction $f$ qui à $x$ associe $f(x) = 2x$ et la fonction $g$ qui à $x$ associe $g(x) = 1 - x$.

Représenter graphiquement ces deux fonctions.

Retrouver graphiquement le résultat de la question 2.

(On pourra prendre un repère orthonormé où l'unité est le centimètre.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit une demi-circonférence de diamètre [AB] tel que AB $= 2a$, de 
centre O ; le point C est le milieu de l'arc $\wideparen{\text{AB}}$ et M est un
point quelconque de l'arc $\wideparen{\text{CB}}$.

La droite (AM) coupe (OC) en D et la bissectrice [O$z$) de l'angle $\widehat{\text{COM}}$ en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle (CIM) est rectangle isocèle.
\item Montrer que le quadrilatère (CIOA) est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre et dont on donnera la valeur du rayon.
\item Montrer que les triangles (AOD) et (CDI) sont semblables.

En déduire que 
\[\dfrac{\text{ID}}{\text{IM}} = \dfrac{\text{OD}}{\text{OM}}.\]
\item On suppose que l'angle $\widehat{\text{CAM}} = 15\degres$.

Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{MAB}}$ et donner, en fonction de $a$, la mesure de [AD], [AM] et [OD].

Quelle est la valeur commune des rapports $\dfrac{\text{ID}}{\text{OM}}, \:\dfrac{\text{ID}}{\text{IM}},\: \dfrac{\text{ID}}{\text{IC}}$ ?

Pouvait-on prévoir ce résultat en calculant la tangente de l'angle $\widehat{\text{C}}$ du triangle (IDC) ?
\end{enumerate}
\end{document}