\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Nice septembre 1973},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nice}}
\rfoot{\small{septembre 1973}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nice septembre 1973~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Exercice I}

\medskip

On donne un axe de repère $\left(\text{O},~\vect{\imath}\right)$,
$f$ la graduation associée au repère. 

A, B et C sont trois points de l'axe tels que
\begin{center}$f$(A) $= x, \:f$(B) $= \dfrac52 x - 1$ \quad et\quad  $f$(C) $= - \dfrac23 x + 3$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le réel $x$ pour que B soit le milieu de [AC].
\item Déterminer les réels $x$ pour que $\overline{\text{AC}} \geqslant - \dfrac12$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

Soit $P(x~;~y) = 9x^2 - 4y^2 + 9x - 6y$, une fonction polynôme des deux variables réelles $x$ et $y$.

\begin{enumerate}
\item Factoriser $P(x~;~y)$.
\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} construire la droite $(D)$ d'équation $3x - 2y = 0$ et la droite $(D')$ d'équation $3x + 2y + 3 = 0$.

Trouver les coordonnées $(x~;~y)$ du point A, intersection de $(D)$ avec $(D')$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

\textbf{Exercice I}

\medskip

On donne un repère orthonormé \Oij{} du plan $(P)$, on considère les points A, B et C donnés par leurs coordonnées
\begin{center} A$(- 2~;~- 1)$, \quad B(1~;~7)\quad  et \quad C(8~;~4).\end{center}

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $\vect{\text{OA}}= - \dfrac14 \vect{\text{OC}}$.

Que peut-on en conclure pour les points O, A et C ?

\item Calculer $d$(A, B), $d$(A, C) et $d$(B, C), en déduire que le triangle (ABC) est rectangle.

\item On considère le point M défini par $\vect{\text{AM}} = \dfrac12\vect{\text{AC}}$ et
l'on construit le point D tel que $\vect{\text{BD}}  = 2 \vect{\text{BM}}$.

Que peut-on dire du quadruplet (A, B, C, D) ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

Donner au moyen des tables trigonométriques $tan 31\degres 35'$.

Un observateur placé en A à 10 mètres du pied d'une tour la voit sous un angle géométrique d'écart angulaire $31\degres 35'$.

Quelle est la hauteur de la tour ?

Quel est l'écart angulaire de l'angle géométrique sous lequel il voit de nouveau la tour s'il se rapproche de façon à être à $30$~mètres de son pied.

On donne
\[\begin{array}{l}
\tan 31\degres  \approx 0,601\\
\tan 32\degres  \approx 0,625\\
\ldots\ldots \ldots\ldots\ldots\\
\tan 38\degres  \approx 0,781,\\
\tan 39\degres  \approx 0,810,\\
\tan 40\degres  \approx 0,839,\\
\tan 41\degres \approx  0,869.
\end{array}.\]

Le dernier résultat pourra être donné à une minute près par défaut.
\end{document}