\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Nice septembre 1977},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Nice}
\lfoot{\small septembre 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nice septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit \Oij{} un repère orthonormé du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la représentation graphique $(D)$ de la fonction $f$ définie par 
$x \longmapsto  f(x) = - \dfrac23 x + 2$ et la représentation graphique $(D')$ de la fonction $g$ définie par : $x \longmapsto g(x) = \dfrac32 x - \dfrac54$.
\item Montrer que le point A de coordonnées $\left(\dfrac32~;~1\right)$ est l'intersection de $(D)$ et de $(D')$.

Trouver les coordonnées du point B de $(D')$ dont l'abscisse est nulle ; celle
du point C de $(D)$ d'abscisse nulle, enfin celles du point E de $(D)$ d'ordonnée nulle.
\item Montrer que $(D')$ est la médiatrice de [CE].
\item La droite passant par C parallèle à la droite (OE) coupe $(D')$ en T.

Montrer que 
\[\text{TC}^2TC2 = \overline{\text{TA}} \cot  \overline{\text{TB}}.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on donne les points A, B,
C par leurs coordonnées :
\begin{center}A(1~;~2) ; B$(-2~;~-4)$\quad  et\quad  C$\left(0~;~\dfrac52\right)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont orthogonaux.

Si D est le point tel que $\vect{\text{AD}} =  k.\vect{\text{AC}}$ ($k$ est un réel) montrer que les vecteurs
$\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AD}}$ sont orthogonaux.
\item Calculer $d$(A, B) ; $d$(A, C) et $d$(B, C).

Si $\alpha$ est l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABC}}$, calculer $\cos \alpha$, \: $\sin \alpha$ et $\tan \alpha$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Écrire le plus simplement possible les réels suivants:

\begin{center}$\sqrt{\dfrac49}, \quad \sqrt{75}$ et \quad $(\sqrt 3 - 2)(\sqrt 3 + 2)$ \end{center}

Indiquer ceux qui appartiennent à l'ensemble des rationnels.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R \times \R$ le système:
\[\left\{\begin{array}{l c r}
\phantom{3}x + \phantom{3}y &=&42\\
3x + 5y&=&150
\end{array}\right.\]

\item Sur un rayon de bibliothèque se trouvent côte à côte $42$~livres; certains d'épaisseur $3$~cm, d'autres d'épaisseur $5$~cm.

Ils occupent toute la longueur du rayon, soit $150$~cm.

Quel est le nombre de livres de $3$~cm d'épaisseur? Le nombre de livres de $5$~cm d'épaisseur?
\end{enumerate}
\end{document}