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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Nice}
\lfoot{\small septembre 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nice septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'application polynôme $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par 
\[f(x) = (2x - 3) (x - 4) + 4x^2 - 9 - (2x - 3)^2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
		\item Factoriser $f(x)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction rationnelle $g$ définie par 
\[g(x) = \dfrac{f(x)}{x^2 + 4x + 4}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition $\mathcal{E}$ de la fonction $g$?
		
Simplifier l'écriture de $g(x)$ pour tout $x$ appartenant à $\mathcal{E}$.
		\item Calculer $g\left(- \sqrt 2\right)$ en exprimant ce nombre réel sou forme d'un quotient dont le dénominateur est un nombre rationnel.
		
Sachant que $1,414 < \sqrt 2< 1,415$, donner un encadrement de $g\left(- \sqrt 2\right)$  à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $g(x) = 3$.
		\item Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} tracer les représentations graphiques $D_1$ et $D_2$ des fonctions affines $h_1$ et $h_2$ de $\R$ vers $\R$ définies par
\[h_1 : x \longmapsto h_1(x) = 2x - 3, \qquad  h_2 : x\longmapsto h_2(x) = 3x + 6\]

et déterminer le point d'intersection de $D_1$ et $D_2$ par ses coordonnées. 
		\item Retrouver le résultat de 3. a.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans un plan $P$ muni d'un repère orthonormé \Oij{} on donne les
points A et B dont les coordonnées dans ce repère sont 
\begin{center}A$(1~;~- 2)$, \qquad  B(2~;~1).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point C tel que $\vect{\text{OC}} = 5\vect{\imath}$.
\item Calculer les distances $d$(A, B), $d$(A, C), $d$(B, C).

Que peut-on en conclure pour le triangle (A, B, C) ?
\item Déterminer les coordonnées du point D tel que le quadruplet (A, B, D, C) soit un parallélogramme.
\item Calculer les coordonnées du milieu I du bipoint (A, C).

Montrer que les points A, B, C sont sur un cercle de centre I et que la droite (D, B) est tangente en B à ce cercle.
\item On considère l'application $f$ dans $P$ qui à tout point M de coordonnées $(x~;~y)$ associe $f$(M) = M$'$ de coordonnées $\left(x'~;~y'\right)$ telles que
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x' &=& - y\\
y' &=&-x
\end{array}\right.\]
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f$ est bijective.
		\item Calculer les coordonnées (ou composantes) des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}}, \vect{\text{BC}}$.
		\item Calculer les coordonnées des points $f$(A) = A$'$ et $f$(B) = B$'$.

Montrer que $d$(A$'$, B$'$) $= d$(A, B).
		\item Soient M$_1$ et M$_2$ deux points de coordonnées M$_1\left(x_1~;~y_1\right)$ et
M$_2\left(x_2~;~y_2\right)$ : comparer $d\left(\text{M}_1',~\text{M}_2'\right)$ et $d$(M$_1$, M$_2$).

Que peut-on en conclure?
		\item Chercher l'ensemble des points M tels que $f$(M) = M . 

Construire cet ensemble.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}