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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Nice}
\lfoot{\small septembre 1979}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nice septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

On considère les applications polynômes $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$, définies par

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& \left(x^2- 4\right) - (2 - x)(x + 7),\\
g(x) &=&(4x + 5)^2 - (2x - 4)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ et $g(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Quelles sont les images par $f$ des réels 2,\: 0 et
$- \dfrac92$ ? 

Quels sont les antécédents par $g$ du réel $0$ ?
\item Soit $q$ la fonction rationnelle qui à $x$ associe
\[q(x)= \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition $E$ de $q$ ?
		\item Montrer que, pour tout $x$ de l'ensemble $E$, on a 
		\[q(x)= \dfrac{x -2}{6x + 1}.\]
		
\end{enumerate}
\item Calculer $q\left(\dfrac{\sqrt 6}{6}\right)$ ;  exprimer ce nombre réel sous forme de quotient dont le dénominateur est un nombre rationnel.
\item Résoudre, dans $E$, l'équation
\[|q(x)| = \dfrac14.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit $P$ un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer les droites $D$ et $D'$ d'équations respectives
\begin{center}\quad $2x-3y=0$ \quad et \quad $2x-3y = -6$.\end{center}
\item Déterminer $D \cap D'$.
\item Soit B et C les points dont les coordonnées sont
B(0~;~2)\:;\: C(3~;~2). ,
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que B appartient à $D'$ et que C
appartient à $D$. Placer ces points sur le dessin.
		\item Soit A le point tel que $\vect{\text{OA}} = \vect{\text{OB}} + \vect{\text{OC}}$.
		
Trouver les coordonnées de A et montrer que A appartient à $D'$. Placer A.
		
Quelle est la nature du quadruplet (0, B, A, C) ?

Trouver les coordonnées du point E tel que le quadruplet (O, B, E, A) soit un parallélogramme.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Trouver les coordonnées du point M de $D'$ tel que la droite (OM) soit perpendiculaire à la droite $(D)$. On trouvera M$\left(-\dfrac{12}{13}~;~\dfrac{18}{13}\right)$.
		\item Calculer les distances $d$(O, M) et $d$(M, B).
		\item En déduire le sinus, le cosinus et la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{BOM}}$.
	\end{enumerate}
\item Soit I le milieu du bipoint (O, A) et H la projection orthogonale de C sur l'axe des abscisses.

Montrer que les quatre points (O, M, A, H) sont sur un même cercle de centre I.
\end{enumerate}
\end{document}