\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Nice septembre 1980},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Nice}
\lfoot{\small septembre 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nice septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On considère l'application polynôme $f$ dans $\R$, définie par 
\[f(x) = ax^2 + bx +  25.\]
où $a$ et $b$ sont des réels :
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(2)$ et $f(-1)$ en fonction de $a$ et $b$.

Déterminer $a$ et $b$ pour que l'on ait à la fois
\begin{center}$f(2) = 1$\quad et \quad $f(- 1) = 49$.\end{center}

\item Soit $g$ et $h$ deux fonctions polynômes, dans $\R$, définies par
\[\begin{array}{l c l}
g(x)&=&(3x - 2)(4x - 5) +(x + 3)(5 - 4x)\\
h(x)&=&4x^2 - 20x + 25.
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $g(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
		\item Factoriser $g(x)$ et $h(x)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $q$ la fonction rationnelle définie par
\[q(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition : $\mathcal{D}_q$ de $q$.
		\item Simplifier l'écriture de $q(x)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $\mathcal{D}_q$ on a
		\[q(x) - 2 = \dfrac{5}{2x - 5}.\]
		\item Calculer $q\left(\sqrt 5\right)$. 
		
Mettre ce réel sous la forme $m\sqrt 5 + p$, \:$m$ et $p$ appartenant à $\Z$.
		\item Déterminer l'ensemble de valeurs de $x$ pour
lesquelles: $q(x) > 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien, $\mathcal{P}$, muni d'un repère orthonormé \Oij, on donne les points

\begin{center}A(-4~;~2), \qquad B(-2~;~5), \qquad C(3~;~6), \qquad D(6~;~4), \qquad E(0~;~8).\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance $d$(A, E).
\item Trouver les coordonnées (ou composantes) des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{CD}}$. 

Montrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
\item Trouver les coordonnées des milieux respectifs
des bipoints (A, E) et (E, D). 

Quels sont ces points ?

En déduire que les droites (BC) et (AD) sont parallèles.
\item Trouver les coordonnées du milieu M du bipoint (A, D). Soit K l'image de E dans la symétrie centrale de centre M. 

Trouver les coordonnées de K puis calculer $d$(A, K).
\item Quelle est la nature du quadruplet (A, E, D, K) ?

\item Que peut-on dire du triangle (B, E, C) ? 

Montrer que le centre du cercle circonscrit à ce triangle
(B, E, C) est le point I milieu de (B, C). 

Montrer que le point M appartient à ce cercle.
\end{enumerate}
\end{document}