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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Nice}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nice septembre 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Camille achète 2 sucettes et 3 chocolats pour $10$ francs. 

Claude achète 7 sucettes et 4 chocolats pour $22$ francs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le prix d'une sucette et d'un chocolat ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{}
placer le point A dont le couple de coordonnées est $(-2~;~ 9)$.
		\item Tracer le représentant d'origine O du vecteur $\vect{V}$ défini par $\vect{V}= -4\vect{\imath} + 7\vect{\jmath}$.
		\item Tracer la droite $D$ passant par A et dont $\vect{V}$ est un vecteur directeur. 
		\item Trouver une équation de $D$.
	\end{enumerate}	
\item Soit l'application $\begin{array}{l l c l}
f :& \R& \to & \R\\
&x&\longmapsto& - \dfrac23 x + \dfrac{10}{3}
\end{array}$
	\begin{enumerate}
		\item Construire la représentation graphique $D'$ de $f$ dans le plan rapporté au repère précédent.
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection de $D$ et $D'$.
		\item Expliquer comment on peut utiliser le graphique pour retrouver les réponses à la première question.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $g$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par

\[g(x) = (3x - 5)^2 - 4(x - 2)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer : $g(- 1),\: g(0),\: g(- 0,5),\: g\left(\dfrac15\right)$ et $g\left(1 - \sqrt 3\right)$.

\item Développer et réduire g(x). 
\item Factoriser g(x).
\item Résoudre dans $\R$ :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $g(x)= 9$ ;
\item[$\bullet~~$] $g(x)= 0$ ;
\item[$\bullet~~$] $g(x) = x -1$;
\item[$\bullet~~$] $g(x) \leqslant 5x^2 + 2$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{}
placer les points :

\begin{center}A$(-1~;~5)$ \:;\qquad B$(5~;~-3)$ \qquad et \qquad C(9~;~0).\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{BC}}$ et en déduire que ABC est un triangle rectangle.
		\item Soit $C$ le cercle circonscrit au triangle ABC.
		
Calculer le rayon de ce cercle et les coordonnées de son centre K.
		\item On appelle $\alpha$ la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ ; calculer $\sin \alpha$.

En déduire une valeur approchée de $\alpha$ à $1\degres$ près. (On donne $2,236 < \sqrt 5 < 2,237$.)
	\end{enumerate}
\item On considère le point M du plan tel que 

\[\vect{\text{AM}} = \dfrac45\vect{\text{AC}}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point M.
		\item Tracer la droite $\Delta$ passant par M et parallèle à la droite
(BC); $\Delta$ coupe la droite (AB) en L.

Démontrer qu'il existe un nombre réel $k$, que l'on déterminera, tel que

\[\vect{\text{AL}} = k\vect{\text{AB}}.\]

	\end{enumerate}
\item Soit $t$ la translation de vecteur $\vect{V}= -5\vect{\imath} - 3\vect{\jmath}$.
	\begin{enumerate}
		\item Construire les points A$'$, B$'$, C$'$ images respectives des
points A, B, C par $t$.
		\item Quelle est la nature du triangle A$'$B$'$C$'$ ? 
		\item Calculer les coordonnées du point A$'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}