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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Nice}
\lfoot{\small septembre 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nice septembre 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A = ab -  b + c^2$ pour

$\bullet~~$$a = 3 \:;\:  b= -1 \:;\: c = -3 $;

$\bullet~~$$a =\sqrt 3 \:;\: b = 2 - \sqrt 3 \:;\: c = \sqrt 5$.
\item Écrire le réel B suivant sous la forme $a\sqrt 6$ où $a$ est un entier relatif :

\[B = \sqrt{54} - 5\sqrt{96} +3\sqrt{150}.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

 Soit l'application $f$ de $\R$ dans $\R$, définie par

\[f(x) = (x + 3)^2 - (5x-2)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un particulier achète $52$ arbustes d'ornement constitués de troènes à $18$~F le pied, et de fusains à $25$~F le pied. 

Il reçoit une facture de \np{1055}~F{}.

Calculer le nombre d'arbustes de chaque sorte.

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
La figure ci-contre représente un cube dont la longueur
des arêtes est 7 cm.

M est le milieu de [FG].

\begin{enumerate}
\item Calculer EM$^2$.
\item En déduire AM.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,4.5)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(3,3)%EFBA
\psline(3,0.2)(4,1.2)(4,4)(3,3)%CC'B'B
\psline(4,4)(1.2,4)(0.2,3)%B'A'A
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.2,1.2)(4,1.2)%EHG
\psline[linestyle=dashed](1.2,1.2)(1.2,4)%HD
\psline[linestyle=dashed](0.2,3)(3.5,0.7)(0.2,0.2)%AME
\uput[u](0.2,3){A} \uput[ul](3,3){B} \uput[d](3,0.2){F} \uput[d](0.2,0.2){E}
\uput[u](1.2,4){D} \uput[ur](4,4){C} \uput[ur](4,1.2){G} \uput[ul](1.2,1.2){H}
\uput[r](3.5,0.7){M}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit un triangle ABC. Les droites (AB), (AC), (BC), étant supposées graduées, placer le point M de la droite (AB) tel que $\vect{\text{AM}}  = \dfrac14 \vect{\text{AB}}$, et le point N de la droite (AC) tel que

$\vect{\text{AN}} = \dfrac14\vect{\text{AC}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (MN) est parallèle à la droite (BC).
\item Tracer la droite passant par N et parallèle à la droite (AB).

Elle coupe le segment [BC] en P. Calculer $\dfrac{\overline{\text{BP}}}{\overline{\text{BC}}}$.
\item I étant le milieu de [BC], démontrer que P est le milieu
de [BI].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points :

\begin{center}A(3~;~4),\qquad B$(8~;~-6)$,\qquad C$(0~;~-2)$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer ces trois points.

Calculer AB, BC, AC.
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item Quel est le centre K du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle
ABC ?

Placer K.

Calculer ses coordonnées.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire la droite $\Delta$, représentation graphique de
l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f(x) = \dfrac12 x + \dfrac52\]

		\item Démontrer que le point A appartient à $\Delta$, et que $\Delta$ est tangente en A au cercle $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}	
\item Soit $\alpha$ la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.

Calculer $\sin \alpha$ ; en déduire une valeur approchée de $\alpha$ à un degré près par défaut.
\end{enumerate}
\end{document}