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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1990}
\rfoot{\small Nice--Corse}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nice--Corse septembre 1990 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Les quadrillages représentés ci-après sont des carrés de $1$~cm de côté.

On rappelle que, par exemple :

\[\text{AB} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt 2.\]

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psdots(1,3)(2,2)(4,4)(7,4)(4,1)
\psline[linewidth=1.25pt](1,3)(2,2)(4,4)(7,4)(4,1)%ABCDE
\uput[ul](1,3){A} \uput[dr](2,2){B} \uput[ur](4,4){C} \uput[ur](7,4){D} \uput[dr](4,1){E} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance :

\[d = \text{AB} + \text{BC} + \text{CD} + \text{DE}\]

sous la forme $a + b\sqrt 2$, où $a$ et $b$ sont des entiers.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner la troncature à l'unité de $d$.
		\item Donner une valeur approchée de $d$ à 0,01 près par défaut. 
		\item Donner l'arrondi de $d$ au millième près.
		\item $1,15 \times 10^1$ est-il la notation scientifique de l'arrondi de $d$
au centième ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le volume $V$ d'une sphère est donné par la formule

\[V = \dfrac43 \times \pi \times R^3,\]

$R$ étant le rayon de la sphère. $\pi$ est le nombre dont on prendra $\dfrac{22}{7}$
comme valeur approchée.

Calculer le volume d'une sphère de rayon $7$ cm. 

On donnera ce volume sous forme de fraction.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

ABCD est un carré de $6$~cm de côté.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.6,6.6)
\psframe(0.5,1.2)(5.5,6.2)
\pspolygon[fillstyle=hlines](0.5,4.7)(2,6.2)(4,6.2)(5.5,4.7)(5.5,2.7)(4,1.2)(2,1.2)(0.5,2.7)
\uput[ul](0.5,6.2){A} \uput[ur](5.5,6.2){B} \uput[dr](5.5,1.2){C} \uput[dl](0.5,1.2){D} 
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,6.4)(2,6.4)\uput[u](1.15,6.4){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4,6.4)(5.5,6.4)\uput[u](4.75,6.4){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.7,6.2)(5.7,4.7)\uput[r](5.7,5.45){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.7,2.7)(5.7,1.2)\uput[r](5.7,1.95){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.5,1)(4,1)\uput[d](4.75,1){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2,1)(0.5,1)\uput[d](1.25,1){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,1.2)(0.3,2.7)\uput[l](0.3,1.95){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,6.2)(0.3,4.7)\uput[l](0.3,5.45){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.6)(5.5,0.6)\uput[d](3,0.6){6}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6.2,6.2)(6.2,1.2)\uput[r](6.2,3.7){6}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle AMN en fonction de $x$.
\item Calculer, en fonction de $x$, l'aire de la partie hachurée.
\item Vérifier que, quand $x = \dfrac{3}{\sqrt 2}$, l'aire de la partie hachurée représente les $\dfrac34$ de l'aire du carré ABCD.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur la figure ci-après (AE) est parallèle à (BF), OA $= 2$~cm, AB $= 3$~cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,4.4)

\pspolygon(1.9,3.8)(0.2,0.2)(9.6,0.2)(1.9,3.8)(5.9,0.2)%OBFOD
\psline(1.22,2.3)(3.57,2.3)%AE
\uput[l](1.22,2.3){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} %\uput[ur](3.6,2.3){C} 
\uput[d](5.9,0.2){D} 
\uput[u](1.9,3.8){O} \uput[ur](3.57,2.3){E}\uput[dr](9.6,0.2){F}
\rput{64}(1.35,3.05){2 cm}\rput{64}(0.5,1.25){3 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la bonne réponse ?

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\dfrac{\text{AC}}{\text{BD}}$  est égal à :&$\dfrac12$&$\dfrac23$&$\dfrac25$&$\dfrac37$&$\dfrac{5}{12}$\\ \hline
$\dfrac{\text{AE}}{\text{BF}}$ est égal à :&$\dfrac12$&$\dfrac23$&$\dfrac25$&$\dfrac37$&$\dfrac{5}{12}$\\ \hline
$\dfrac{\text{OC}}{\text{CD}}$ est égal à :&$\dfrac12$&$\dfrac23$&$\dfrac25$&$\dfrac37$&$\dfrac{5}{12}$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\item Démontrer que $\dfrac{\text{AC}}{\text{BD}} = \dfrac{\text{CE}}{\text{DF}}$.
 (citer le théorème utilisé)

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un losange ABCD de côté $6$~cm et tel que 
$\widehat{\text{ADC}} = 60\degres$.
		\item Quelle est la nature du triangle ADC (justifier la réponse) ?
vQuelle est la longueur des diagonales [AC] et [BD] ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un losange EFGH de côté $6$~cm et dont la diagonale [EG] a pour longueur $1,5$~cm.
		\item Calculer, à $1\degres$ près par défaut, l'angle $\widehat{\text{EHG}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Description de la \emph{figure} 1 : [AB] est un segment de milieu I, $\Delta$ est
sa médiatrice, S est un point de $\Delta$.

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Quel est l'axe de symétrie
de la figure 1 ?
\item Que peut-on en déduire pour les longueurs SA et SB ?

Pour les angles $\widehat{\text{ASI}}$ et $\widehat{\text{ISB}}$ ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.5)(1.8,3.2)
\psline(-1.8,0)(1.8,0)%AB
\psline(0,-1.5)(0,3.2)
\psframe(0,0)(0.2,0.2)
\uput[d](-1.8,0){A} \uput[d](1.8,0){B} \uput[dr](0,0){I} \uput[r](0,2.6){S} \uput[l](0,3){$\Delta$}
\psdots(-1.8,0)(1.8,0)(0,0)(0,2.6)
\psline(-1,-0.1)(-0.8,0.1)\psline(0.8,-0.1)(1,0.1)
\rput(1,2.5){\emph{Fig. }1}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\item Description de la \emph{figure} 2 : 

$\Delta$ est une droite tangente au cercle $\mathcal{C}$ de centre B et de rayon BI. 

La droite (ST) est la seconde tangente issue de S au cercle $\mathcal{C}$.

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Quel est l'axe de symétrie de la \emph{figure} 2 ?

Quel est le symétrique du point I ?

Quel est le symétrique du point B ?

Quel est le symétrique du point S ?
\item Que peut-on en déduire pour les longueurs SI et ST ? Pour les angles $\widehat{\text{ISB}}$ et $\widehat{\text{BST}}$ ? (Justifier les réponses.)
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,6.4)
%\psgrid
\psline(0.5,0)(0.5,6.4)
\pscircle(2,2.1){1.5}
\psline(0.5,2.1)(2,2.1)(3,3.22)%IBT
\psline(0,5.96)(4,2.3)%ST
\psframe(0.5,2.1)(0.7,2.3)\rput{45}(3,3.22){\psframe(-0.2,-0.2)}
\uput[l](0.5,2.1){I} \uput[d](2,2.1){B} \uput[ur](3,3.22){T} \uput[ur](0.5,5.5){S}
\uput[l](0.5,6.2){$\Delta$}\rput(3,5){\emph{Fig.} 2}\uput[dr](3,0.8){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter sur une même \emph{figure} 3 les \emph{figures} 1 et 2, en prenant
		
AB $= 5$~cm et IS $= 6$~cm.
		\item Que peut-on dire des trois angles $\widehat{\text{ASJ}}$,\: $\widehat{\text{ISB}}$,\: $\widehat{\text{BST}}$ ?
		\item Dans la rotation de centre S dans laquelle A devient B, que devient le point I ?
		
Pourquoi ?
	\end{enumerate}

\item ~

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\emph{Description de la figure} 4 :

 [AB] est un segment de milieu I, de médiatrice $\Delta$ ; $\mathcal{C}$ est le cercle de centre B et de rayon BI.

En imaginant un angle $\widehat{x\text{O}y}$ dessiné sur du papier transparent, indiquer comment situer le point O et les demi-droites [O$x$) et [O$y$) sur la \emph{figure} 4 de
manière à partager l'angle $\widehat{x\text{O}y}$ en trois angles égaux (sans utiliser le rapporteur).
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.1,6)
\psline(1.8,0)(1.8,6)
\psline(0.2,2.8)(3.4,2.8)
\pscircle(3.6,2.8){1.8}
\psframe(1.8,2.8)(2,3)
\uput[u](0.2,2.8){A} \uput[u](3.4,2.8){B} \uput[dl](1.8,2.8){I} \uput[l](1.8,5.7){$\Delta$}
\rput(3.5,0.5){\emph{Fig.} 4}
\psline(0.9,2.7)(1.1,2.9)\psline(2.5,2.7)(2.7,2.9)
\end{pspicture}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\end{document}