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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Niger juin 1968~\decofourright}\\[7pt] ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement le système suivant :
\[\left\{\begin{array}{l c l r}
\dfrac32 x + y &=& 6,&(1)\\
\dfrac43 x + 2y&=& 12.&(2)
\end{array}\right.\]

Vérifier par le calcul les résultats obtenus graphiquement.
\item Les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ représentant respectivement les équations (1) et (2) du système donné se coupent en A.

On désigne par B et C les points d'intersection de l'axe O$x$ avec $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.

Vérifier la relation
\begin{center}OA$^2 =$ OB $\cdot$ OC.\end{center}
Que peut-on dire du cercle circonscrit au triangle ABC ?


\item Former l'équation de la perpendiculaire à $\left(D_2\right)$
passant par B.

Cette droite coupe l'axe $y'y$ au point E.

Que représente le point E pour le triangle ABC ?
\item Calculer l'aire du triangle ABC.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère un cercle de centre O et de rayon $R$, dans lequel la corde [AB] sous-tend un arc de $90\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AB en fonction de $R$.
\item On prolonge [AB] au-delà de B d'une longueur [BP] telle que 
BP = AB et l'on trace de P les droites (PM) et (PN) tangentes à la circonférence (O) en M et N.

Calculer PM et OP.
\item On trace la corde [MN], qui coupe (OP) au point I.

Démontrer la similitude des triangles OMP, OMI et IMP.

Donner les rapports de similitude de ces triangles pris deux à deux.

En déduire que OI $= \dfrac{\text{MI}}{2}$  et MI $= \dfrac{\text{IP}}{2}$.

Calculer les longueurs des segments OI, MI et IP en fonction de $R$.
\item Calculer le périmètre et l'aire du triangle MNP.
\end{enumerate}
\end{document}