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\overrightarrow{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Brevet des collèges}}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\[7pt] mars 2005}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer A et B et présenter les résultats sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $a$ et $b$ entiers et $b$ le plus petit possible :

\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] A $= 3\sqrt{45} + 2\sqrt{20} - 4\sqrt{80}$; 

\medskip

\item[$\bullet~$] B $= \sqrt{18} \times \sqrt{8} \times \sqrt{50}$.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que le plus grand diviseur commun à 63 et 105 est $d = 21$. Calculer les nombres $a$ et $b$ tel que :

\[63 = a \times d \quad \text{et} \quad 105 = b \times d.\]

\item Simplifier le plus possible $\dfrac{63}{105}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On pose $A = (2x+ 1)^2 - 3(2x+ 1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $A$.
\item  Factoriser $A$.
\item  Calculer $A$ pour $x = - \dfrac{2}{3}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Résoudre le système :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
2x + 5y&=&4\\
3x - 2y &=& - 13 \\
\end{array}\right.\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Voici le schéma simplifié du fonctionnement d'un appareil photographique : un objet [AB] situé à une distance $d$ de l'objectif O a une image [A$'$B$'$] sur la pellicule située à une distance $d'$ de O. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9,3)
\pspolygon(1.7,0.1)(8.1,2.7)(8.1,1)(1.7,1)
\psframe(1.7,1)(1.9,0.8)\psframe(8.1,1)(7.9,1.2)
\psline(1.7,1)(1.7,2.8) \psline{->}(1.4,2.3)(1.7,2.3)
\psline{->}(1,0.5)(1.7,0.5)\psline{->}(2.6,1.7)(3.9,1)
\uput[dr](8.1,1){A} \uput[ur](8.1,2.7){B} \uput[dr](3.9,1){O} \uput[l](1.7,1){A$'$} 
\uput[l](1.7,0.1){B$'$} \uput[u](6.05,1){$d$} \uput[u](2.8,1){$d'$} 
\rput(0.7,2.3){Pellicule} 
\rput(9,1.9){Sapin} \psline{->}(8.5,1.9)(8.1,1.9)
\rput(2.5,1.8){Objectif}
\rput(0.2,0.8){Image} 
\rput(0.2,0.3){renversée}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Prouver que les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.
\item Démontrer l'égalité : $\dfrac{d}{d'} =  \dfrac{\text{AB}}{\text{A}'\text{B}'}$.
\item Pour un certain appareil, $d' = 50$~mm. Un sapin d'une hauteur de 12~m se trouve à 15~m de l'objectif.

Quelle est la hauteur de l'image qui se forme sur la pellicule ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\parbox{0.55\linewidth}{ABCDEFGH est un cube de côté 6 cm. Un point S, choisi sur l'arête [AE], permet de définir une pyramide SABCD (de sommet S, de hauteur SA, de volume $V_{1}$)
 
On pose AS $= x~ (0 < x< 6)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $V_{1} = 12x$. 
\item  Exprimer SE en fonction de $x$. 

\item  Expliquer pourquoi le triangle  EFH est rectangle en E. 
\item  Calculer l'aire du triangle EFH. 
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1.1cm}\begin{pspicture}(5,4)
\psline(0.5,0)(3.3,0)(4.6,0.4)(4.6,3.2)(3.3,2.8)(3.3,0)%ABCGFB
\psline(4.6,3.2)(1.8,3.2)(0.5,2.8)(3.3,2.8)(1.8,3.2)%GHEA
\psline(0.5,0)(0.5,2.8)%AE
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(1.8,0.4)(1.8,3.2)%ADH
\psline[linestyle=dashed](4.6,0.4)(1.8,0.4)(0.5,1.6)(1.8,3.2)%CDSH
\psline(3.3,2.8)(0.5,1.6)%FS
\psline[linestyle=dashed](4.6,0.4)(0.5,1.6)%CS
\uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](3.3,0){B} \uput[dr](4.6,0.4){C} 
\uput[d](1.8,0.5){D} \uput[l](0.5,2.8){E} \uput[dr](3.3,2.8){F} 
\uput[r](4.6,3.2){G} \uput[u](1.8,3.2){H} \uput[l](0.5,1.6){S} 
\end{pspicture}}

\emph{Rappel} : $V = \dfrac{1}{3}\text{aire de base} \times \text{hauteur de la pyramide}.$ 

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME\hfill 12 points}

\bigskip

\emph{On se placera dans un repère orthonormal} (O ; I, J), \emph{où l'unité est le centimètre et on complétera la figure au fur et à mesure des questions.}

\begin{enumerate}
\item  Tracer ce repère et placer les points:
M(4~;~2), P$(-2~;~4)$ et N$(2~;~-4)$.
\item  Prouver que $\text{PM}^2 = 40$.
\item  Sachant que $\text{PN}^2 = 80$ et $\text{MN}^2 = 40$, montrer que le triangle MNP est rectangle. 
\item  Placer le point E(2 ; 1) sur la figure.
\item  Vérifier que E est le milieu de [OM].
\item  Tracer le cercle $\mathcal{C}$ de centre E et de diamètre [OM].
\item  Soit R(1 ~;~3) le milieu de [MP].

Sachant que le rayon du cercle est égal à $\sqrt{5}$, vérifier par le calcul que le point R est sur le cercle $\mathcal{C}$.
\item  En déduire, sans aucun calcul, que le triangle OMR est rectangle (on précisera en quel sommet).
\end{enumerate}
\end{document}