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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nord--Cameroun juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur exacte la plus simple de \np{2205}.
\item Calculer $\sqrt{21}$, à $0,01$ près par excès.

Utiliser le résultat pour donner une valeur approchée de $\dfrac{\sqrt 7 - \sqrt 3}{\sqrt 7 + \sqrt 3}$.

Dire si celte valeur est approchée par excès ou par défaut.
\item Quels sont les nombres ayant pour valeur absolue $\dfrac32$ ?

Résoudre l'équation 
\[4|x] - 7 = 0.\]
\item Donner quatre nombres différents, positifs ou négatifs, dont la valeur absolue est strictement inférieure à 2.

Résoudre les inéquations
\begin{center}$|x| < 2$ \quad et \quad $|x| > 5$.\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un triangle ABC ayant trois angles aigus, inscrit dans un cercle de centre O.

On désigne par H l'orthocentre du triangle ABC, par H$_{\text{A}}$, H$_{\text{B}}$ et H$_{\text{C}}$ les pieds des hauteurs issues respectivement de A, B et C.

Les hauteurs AH$_{\text{A}}$, BH$_{\text{B}}$ et CH$_{\text{C}}$ coupent respectivement le cercle en L, P et Q.

Soit D le point diamétralement opposé à A et M le milieu de [BC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des angles $\widehat{\text{ACD}}$ et $\widehat{\text{ABD}}$.

Montrer que le quadrilatère HBDC est un parallélogramme.

En déduire que les points H, M et D sont alignés et que M est le milieu de [HD].
\item Quelle est la nature du triangle HLD ?

Montrer que L et H sont symétriques par rapport à (BC).

Que peut-on en conclure pour les points P et H d'une part, H et Q d'autre part ?

Montrer que les triangles LPQ et H$_{\text{A}}$H$_{\text{B}}$H$_{\text{C}}$ sont semblables.

Déterminer leur rapport de similitude.
\item Comparer les triangles BH$_{\text{A}}$H et BH$_{\text{B}}$C.

On pose BC $= a$ et AB $= c$.

Calculer, en fonction de $a$ et de $c$ et des rapports trigonométriques des angles 
$\widehat{\text{ABC}}$ et $\widehat{\text{ACB}}$, les mesures des segments BH$_{\text{A}}$, BH$_{\text{B}}$ et BH.
\end{enumerate}
\end{document}