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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Nord Cameroun}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nord Cameroun juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Le train de Douala à Yaoundé quitte Douala à 21~h~20. Il arrive à Éséka à 24 h 55, après un arrêt de 20 minutes à Édéa, d'où il repart à 23~h~05.

Le train roule à la vitesse de 65~km/h.

Monsieur X veut de toute urgence rencontrer Monsieur Y, qui a pris le train à Douala et qui doit descendre à Éséka.

Monsieur X part de Douala en voiture, à $22$~h.

Il doit donc, soit arriver à Édéa avant 23~h~05, soit arriver à Éséka avant 24~h~55.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, à 1 km près par défaut, les distances de Douala à Édéa et de Douala à Éséka.

Représenter graphiquement le mouvement du train de Douala à Éséka : les unités sur les axes sont 1 cm pour $20$~km et 1 cm pour $20$~minutes ; les distances sont comptées à partir de Douala ; l'origine des temps est $21$~h.
 
Donner les équations horaires du mouvement du train entre Douala et Édéa d'une part, entre Édéa et Éséka d'autre part, en comptant toujours les distances à partir de Douala et en prenant toujours comme origine des temps $21$~h~20. Les unités de longueur et de temps
sont respectivement le kilomètre et l'heure.
\item Quelle est la vitesse moyenne minimale à laquelle Monsieur X doit rouler pour arriver à temps à Édéa ? 

Quelle est la vitesse moyenne minimale à laquelle Monsieur X doit rouler pour arriver à temps à Eséka ?

On suppose que la route et la ligne de chemin de fer
sont constamment parallèles.

En réalité, Monsieur X roule à la vitesse de $80$~km/h.

À quelle distance de Douala et à quelle heure rattrape-t-il le train ? (Solution algébrique et solution graphique.)
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Deux tangentes, en B et C, à un cercle (O), de centre O et de rayon $R$, se coupent en A.

Soit D (D entre A et O) et E les intersections de (AO) et du cercle et soit H l'intersection de (AO) et (BC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que représentent (BD) et (BE) pour l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ ?
\item Comparer les rapports $\dfrac{\text{AE}}{\text{AD}}$  et $\dfrac{\text{HE}}{\text{HD}}$.
\item Si $\dfrac{\text{DH}}{\text{DA}}$ vaut $\dfrac12$, quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ ?

Quelle est la nature du quadrilatère ABEC ?
\item $\dfrac{\text{DH}}{\text{DA}}$ étant égal à $\dfrac12$, on prend sur (EB) un point P
tel que EP $= \dfrac{\text{EB}}{4}$.

Quelle est, en fonction de $R$, la distance de P au centre du cercle ?
\end{enumerate}
\end{document}