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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nord-Cameroun juin 1972~\decofourright}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit le polynôme 
\[A(x) = \left(x^2 - 9\right) + 2(x - 3)(x + 1),\]

où $x$ est un nombre réel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $A(x)$ sous forme d'un polynôme ordonné
suivant les puissances décroissantes de $x$.
		\item Calculer $A(0),\: A(3)$ et $A\left(\sqrt 2\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $A(x)$ sous forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
		\item Déterminer les nombres réels $x$ tels que $A(x) < 0$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fraction rationnelle suivante : 
\[F(x) = \dfrac{A(x)}{9x^2 + 30x + 25}\]
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles valeurs de $x$ cette fraction est-elle définie ?
		\item Déterminer, par simplification, une fraction $G(x)$
prenant les mèmes valeurs que $F(x)$ quand celle-ci est définie.
		\item Prouver, sans calcul, que, si $- \dfrac53 < x < 3$, on a $G(x) < 0$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier rapidement les fonctions définies par 
\begin{center} $y_1 = x - 3$\quad  et\quad  $y_2 = 3x + 5$.\end{center}
		\item Déterminer l'intersection des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$, qui les représentant respectivement dans un système d'axes orthonormé (détermination algébrique et graphique).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Le plan est rapporté à un système d'axes orthonormé $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$.

On donne les points M, de coordonnées $(0~;~u)$, A$(a~;~0)$ et B$(b~;~0)$, avec

\begin{center}$a < 0,\quad  b > 0$\quad et \quad $|a| < |b|$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'abscisse du milieu I, du segment [AB] : soit $\overline{\text{OI}}$.
		\item Montrer que l'hypothèse $|b| > |a|$ entraîne nécessairement $\overline{\text{OI}}> 0$.
	\end{enumerate}
\item Soit G le centre de gravité du triangle (AMB).

G se projette en G$'$ sur $x'\text{O}x$ et en G$''$ sur $y'\text{O}y$.
	\begin{enumerate}
		\item Comparer les triangles (IMO) et (IGG$'$).
		\item Montrer que $\dfrac{\text{IG}'}{\text{IO}} = \dfrac13$ et en déduire que
\[\overline{\text{OG}'} = \dfrac{a+b}{3}.\]
		\item Après avoir démontré que le point G$'$ ne dépend pas de la position du point M sur $y'\text{O}y$, montrer que, lorsque M se déplace sur $y'\text{O}y$, G se déplace sur une droite, que l'on précisera.
		\end{enumerate}
\item On suppose, dans cette question, que OB $= 3\alpha$, OA $= \alpha$ et OM $= 4\alpha$, le nombre $\alpha$ étant positif.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer MA et MB.
		\item Déterminer $\sin \widehat{\text{OAM}}$ et $\tan \widehat{\text{OMB}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}