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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{septembre 2002}}
\rfoot{\small{Métropole}}
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\thispagestyle{empty}
 
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet 
Nord septembre 2002 \decofourright}} \end{center}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

Soit A \:$ = \dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{5} : \dfrac{12}{7}, \quad \text{B} = 
\dfrac{ 7 \times \left(10^5\right)^2\times 10^{-3}}{35 \times 10^3} \quad 
\text{et\quad  C}~= 4\sqrt{45} + 2\sqrt{5} - \sqrt{500}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
\item Calculer B et donner le résultat en écriture scientifique.
\item Calculer C et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un entier relatif.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $D = (2x - 5)(x + 3) - (2x - 5)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire D.
\item Factoriser D.
\item Résoudre l'équation $(2x - 5)( - x + 8) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Pour la fête du village, le pâtissier a préparé des sachets contenant des gâteaux.

Dans certains il a mis des pains au chocolat et dans les autres des croissants.

Il a mis le même nombre de gâteaux dans chaque sachet. Il y a en tout 910 pains au 
chocolat et 693 croissants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien a-t-il mis de gâteaux dans chaque sachet ?
\item Combien y-a-t-il de sachets contenant des croissants ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Le gérant d'un cinéma a réalisé un sondage auprès de 400 personnes en leur demandant 
combien de films ils ont regardé dans ses salles pendant le mois qui vient de s'écouler. 
Il a ensuite dressé le tableau qui se trouve sur la feuille annexe 1 ci-jointe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter ce tableau.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre de personnes qui ont regardé un seul film le mois  dernier ?
		\item Exprimer ce résultat en pourcentage.
	\end{enumerate}
\item Combien de personnes ont regardé moins de 4 films le mois dernier ?
\item Combien de films, en moyenne, les personnes interrogées ont-elles regardé le mois dernier ?

Justifier par un calcul et arrondir le résultat à l'unité.
\end{enumerate}

\newpage 

\textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\textbf{Exercice 1}

L'unité de longueur est le centimètre.

Sur la figure ci-contre qui n'est pas en vraie grandeur,

les droites (BC) et (GF) sont parallèles.

On sait que AB = 3, \quad CE = 2,4

AC = 4, \quad  BD = 1,8

BC = 4,5, \quad AF = 3,6

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur GF.
\item Les droites (BC) et (ED) sont-elles parallèles ?

Justifier.
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(9,7)
\psline(0.5,0.4)(8.9,3.45) \psline(0.4,1.3)(8.7,4.4)
\psline(0,4)(8.3,7) \psline(1.8,6.2)(7.6,0.8)
\psline(2.4,0.4)(6,6.9) 
\uput[l](4.65,4.3){A} \uput[u](5.3,3.2){B} \uput[ul](3.7,2.5){C}
\uput[u](6,2.45){D} \uput[ul](2.9,1.3){E} \uput[ul](5.6,6){F} 
\uput[u](3.2,5.1){G}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Construire un triangle ABC tel que AB = 4,2 cm, AC = 5,6 cm et BC = 7 cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\widehat{\text{BAC}}$ est un angle droit.
\item À l'aide de sa tangente, calculer au degré près, la mesure de 
$\widehat{\text{BAC}}$.
\item Placer sur le segment [AC], le point M tel que BM = 5,5 cm.

Calculer, au mm près, la longueur du segment [AM].
\end{enumerate}

\bigskip  

\textbf{Exercice 3} 

\medskip

Une cloche à fromage en forme de demi-sphère de rayon 9 cm et une boîte cylindrique de même rayon ont le même volume.

\begin{center}
\begin{pspicture}(11,3)
\psellipse(1.25,0.4)(1.25,0.4)
\psline{<->}(1.25,0.4)(2.5,0.4)
\psarc(1.25,0.4){1.25}{0}{180}
\uput[u](1.9,0.4){9 cm}
\qdisk(1.25,1.65){2pt}
\psellipse(8.25,0.4)(1.25,0.4)
\psellipse(8.25,2.4)(1.25,0.4)
\psline(7,0.4)(7,2.4)
\psline(9.5,0.4)(9.5,2.4)
\psline{<->}(8.25,0.4)(9.5,0.4)
\uput[u](8.9,0.4){9 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la cloche.

On donnera la valeur exacte du résultat, puis sa valeur arrondie au cm$^3$ près.
\item Calculer la hauteur de la boîte cylindrique.
\end{enumerate}

\textbf{RAPPEL :}

\begin{center}
\begin{pspicture}(11,3)
\psellipse(1.25,0.4)(1.25,0.4)
\pscircle(1.25,0.4){1.25}
\psline{<->}(1.25,0.4)(2.5,0.4)
\uput[u](1.9,0.4){$R$}
\psellipse(8.25,0.4)(1.25,0.4)
\psline(7,0.4)(7,2.4)
\psline(9.5,0.4)(9.5,2.4)
\psellipse(8.25,2.4)(1.25,0.4)
\psline[linestyle=dotted]{<->}(8.25,0.4)(8.25,2.4)
\uput[r](8.25,1.4){$H$}
\psline{<->}(8.25,0.4)(9.5,0.4)
\uput[u](8.9,0.4){$R$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,8cm}

Volume de la sphère : $\dfrac{4}{3}\pi R^3$\hspace{3cm} Volume du cylindre : $\pi R^2 
H$.

\newpage

\textbf{\textsc{Problème }\hfill 12 points}

\bigskip

Une agence de location de cassettes vidéo propose à ses clients le choix entre deux tarifs

tarif 1 : un abonnement mensuel de 15 euros et 0,70 euro par cassette louée.

tarif 2 : un abonnement mensuel de 11 euros et 1,50 euro par cassette louée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau sur la feuille annexe 2.
\item On appelle $x$ le nombre de cassettes louées par un client en un mois.

Exprimer, en fonction de $x$ :
	\begin{enumerate}
		\item le prix payé avec le tarif 1, noté $P_1(x)$.
		\item le prix payé avec le tarif 2, noté $P_2(x)$.
	\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement les fonctions affines

$P_1 : x \longmapsto P_1(x) = 0,7x + 15$ et $P_2 : x \longmapsto 
P_2(x) = 1.5x + 11$.

On utilisera le papier millimétré fourni en annexe 2 . On prendra sur 
l'axe des abscisses 1 cm pour une cassette et sur l'axe des ordonnées 1 cm 
pour 2 euros.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $0,7x + 15 = 1,5x + 11$. Interpréter le résultat.
		\item Vérifier graphiquement cette solution en faisant apparaître les pointillés utiles.
	\end{enumerate}
\item En utilisant le graphique, combien faut-il louer de cassettes en un mois pour que le 
tarif 1. soit plus intéressant que le tarif 2 ?
\item Monsieur Avent a choisi le tarif 2 et il a payé 29 euros pour le mois. Utiliser le 
graphique pour déterminer le nombre de cassettes qu'il a louées dans le mois. Faire 
apparaître les pointillés utiles.
\item Monsieur Comic a choisi le tarif 1 et il a payé 19,90 euros pour le mois.
	\begin{enumerate}
		\item Trouver par un calcul le nombre de cassettes qu'il a louées dans le mois.
		\item Dans ce cas, quel est le prix moyen de la location d'une cassette ? Arrondir le 
résultat au centième d'euro.
	\end{enumerate} 
\item L'agence décide de proposer un troisième tarif à ses clients : un prix mensuel de 
23 euros quel que soit le nombre de cassettes louées dans le mois.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter sur le même graphique, le prix $P_3$ payé avec le tarif 3.
		\item Combien faut-il louer de cassettes pour que ce nouveau tarif soit plus avantageux que 
les autres ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Feuille annexe 1}

\vspace{1cm}

\textbf{Tableau de l'exercice 4 des activités numériques}

\vspace{1cm}

\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline 
nombre de films regardés & effectifs & effectifs cumulés croissants\\ 
\hline 
0 & 50 	& \\ \hline
1 & 60 	& \\ \hline
2 & 120 & \\ \hline
3 & 40 	& \\ \hline
4 & 50 	& \\ \hline
5 & 30 	& \\ \hline
6 & 	& \\ \hline
7 & 20 	& \\ \hline
8 & 10 	& \\ \hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe 2}

\vspace{1cm}

\textbf{Tableau de la question 1 du problème}

\vspace{0,2cm}

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
nombre de cassettes louées 	&0 	&1 	&2 	&6 	&10\\ \hline
prix payé avec le tarif 1 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
prix payé avec le tarif 2 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}