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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouméa -- Port Vila}}
\rfoot{\small{novembre 1973}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nouméa novembre 1973~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Les fonctions polynômes $f$ et $g$ définies dans $\R$ sont telles que 
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& 9(x + 2)^2 + x^2 - 4 - 3 (x + 2)(x + 7)\\
g(x) &=& (6x - 1)^2 - (x - 4)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x),\: g(x), \:5g(x)-3f(x)$ 
sous forme de produits de deux facteurs du premier degré.
\item On considère la fonction rationnelle $h$ de la variable réelle $x$
 définie par $h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $h$.
		\item Simplifier $h(x)$.
	\end{enumerate}	
\item Calculer $h\left(\sqrt 2\right)$.

On donnera un résultat où le dénominateur est un entier naturel.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

A, B, C sont trois points d'un plan affine euclidien $(P)$ tel que le triangle (A, B, C) soit rectangle et isocèle. On pose

\begin{center}$d$(C, A) = $d$(C, B) $= a \:(a > 0)$\end{center}
et le point O est le milieu du segment [BC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $d$(A, B) et $d$(A, O).
\item Le point D est défini par $\vect{\text{AD}} = 2\vect{\text{AO}}$.

Montrer que le quadruplet (A, B, D, C) est un parallélogramme.
\item Le point E est défini par $\vect{\text{BE}} = 4\vect{\text{OB}}$.

Calculer $d$(A, E) et $d$(D, E)
\item Montrer que le triangle (A, D, E) est rectangle.
\item Si $\omega$ est le milieu de [AE], montrer que $\omega$C = $\omega$D.

En déduire que la droite ($\omega$B) est la médiatrice du segment [CD].
\end{enumerate}
\end{document}