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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Orléans--Tours}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans--Tours juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ définies par
\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R&\to& \R\\
&x&\longmapsto& 3x-2,
\end{array} \qquad  \begin{array}{l l c l}
g :&\R&\to& \R\\
&x&\longmapsto& 5-x,
\end{array}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ les équations
\[ f(x) g(x) = 0,\qquad [f(x)]^2 = [g(x)]^2\]

\item Soit la fonction $F$ définie par
\[\begin{array}{l c l}
\R&\to& \R\\
x &\longmapsto&F(x) = \dfrac{\left(9x^2 - 12x + 4\right) - 6x + 4- 3\left(9x^2 - 4\right)}{f(x) g(x)}
\end{array}\]

On appelle $\mathcal{D}$ l'ensemble de définition de $F$.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser cet ensemble,

		\item Montrer que $F(x) = \dfrac{2(3x +5)}{x - 5}$ dans $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}	
\item Calculer $F\left(- \dfrac45\right)$ et $F\left(1 - \sqrt 3\right)$.

On donnera des réponses dans lesquelles le
dénominateur est un entier.

\item Résoudre dans $\R$ les équations
\begin{center}$F(x) = 1$ et $F(x)= 0$.\end{center}
\item Dans le plan muni d'un repère cartésien \Oij{}
construire les droites d'équations
\begin{center}$y= - 6x - 10$\quad  et \quad $y =5 - x$.\end{center}

Quel résultat précédent peut être vérifié graphiquement ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Faire une figure (unité : 1~cm).

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on donne les points
\begin{center}
A(3~;~0),\qquad B$(2~;~-3)$,\qquad D(0~;~1) \quad et \quad F$(-1~;~0)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées de E symétrique de A dans la symétrie de centre D.

Montrer que E, F et B sont alignés.
\item Calculer $d$(E, A), $d$(A, B), $d$(B, E).

Que peut-on en déduire pour le triangle (E, A, B) ?

Si $\alpha$ est l'écart angulaire de l'angle géométrique
$\widehat{\text{AEB}}$,calculer $\sin \alpha$.

Sachant que 2,236 est une valeur approchée (à $10^{-3}$ près) par défaut de $\sqrt 5$, déterminer un encadrement de $\alpha$ à un degré près.
\item Quelles sont les coordonnées du point C tel que (A, B, C, D) soit un parallélogramme ?

Préciser la nature de ce parallélogramme et donner les coordonnées de son centre I.
\item Montrer que les points A, B, C, D et F appartiennent à un même cercle $(\mathcal{D})$ dont on précisera le centre et le rayon.

Que représente (EC) pour le cercle ?
\end{enumerate}
\end{document}