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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Orléans-Tours}
\lfoot{\small juin 1982}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans-Tours juin 1982 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

L'application $f$, de $\R$ dans $\R$ est définie par 

\[f(x) = (3x - 2)(x - 2)- (3x - 2)^2 + \left(9x^2 - 4\right).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Calculer $f\left(- 2\sqrt 2\right)$.
Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$, en déduire un encadrement de $f\left(- 2\sqrt 2\right)$, puis la valeur décimale approchée par défaut à $10^{-2}$ près de $f\left(- 2\sqrt 2\right)$.
\item Factoriser $f(x)$ puis résoudre, dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\item Résoudre, dans $\R^2$, le système 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x - y - 2&=&0\\
\phantom{3}x - y &=&-2.
\end{array}\right.\]

\item Dans un repère orthonormé, construire les droites
d'équations respectives

\begin{center}$3x - y - 2 = 0$ \quad et $x - y + 2 = 0$.\end{center}

Retrouver graphiquement le résultat de la question précédente.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans un repère orthonormé, on donne les points A, B et C définis par

\begin{center}A$(-2~;~1)$,\qquad B(4~;~3), \qquad C$(-1~;~y)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'ordonnée $y$ du point C, pour que $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ soient orthogonaux.
\end{enumerate}

Dans la suite du problème, on prendra $y = - 2$.

\begin{enumerate}[resume]
\item On appelle I le milieu de [BC]. 

Calculer les coordonnées de I.
\item On appelle D le symétrique de A par rapport à I.

Calculer les coordonnées de D.
\item Montrer que le quadrilatère (A, C, D, B) est un rectangle.
\item Montrer que les points A, B, C et D sont sur un cercle $(\mathcal{C})$, dont on précisera le centre et dont on calculera le rayon.
\item On donne $\vect{u}(1~;~7)$. 

On appelle E l'image de A par la translation de vecteur $\vect{u}$. 

Calculer les coordonnées de E.
\item Montrer que le triangle (A, J, E) est rectangle. 

En déduire la position de la droite (AE) par rapport au cercle $(\mathcal{C})$.
\end{enumerate}
\end{document}